Треугольники Четырёхугольники Площади фигур Признаки равенства треугольников Признаки равенства прямоугольных треугольников Тригонометрические функции. - презентация

1

2 Треугольники Четырёхугольники Площади фигур

3 Признаки равенства треугольников Признаки равенства прямоугольных треугольников Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника Теорема Пифагора Теорема Фалеса Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Теоремы синусов и косинусов Свойства медиан треугольника Свойства биссектрис треугольника Свойства высот треугольника Признаки подобия треугольников Признаки подобия прямоугольных треугольников

4 Параллелограмм. Свойства параллелограмма Прямоугольник. Ромб. Квадрат Трапеция Свойства трапеции Вписанные и описанные четырехугольники

5 Площадь квадрата, параллелограмма, ромба Определение площади Площадь треугольника Площадь трапеции Площадь описанного многоугольника Площадь произвольного четырехугольника Площадь круга и его частей Длина окружности и дуги окружности

6 Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны. АВ СD, BC AD, ABCD – параллелограмм. Свойства параллелограмма: 1. Противолежащие стороны параллелограмма равны: АВ = СD, ВС = АD 2. Противолежащие углы параллелограмма равны: 3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD 2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: если AB = CD = a, ВС = AD = b, AC = d 1, BD = d 2, то d d 2 2 = 2(a 2 + b 2 ) А В С D А В С DА В С DА В С D a b d1d1 d2d2 O

7 Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые. Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб, у которого все углы прямые. Свойства: 1. Диагонали прямоугольника равны: AC = BD 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом: 3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: 4. Диагонали квадрата: 1)равны; 2)пересекаются под прямым углом; 3)являются биссектрисами его углов. Для прямоугольника, ромба и квадрата справедливы все свойства параллелограмма. АD СВ А А В ВС С D D

8 Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны. Основания трапеции – её параллельные стороны. Боковые стороны – непараллельные противолежащие стороны трапеции. А СВ D Боковые стороны Основания Равнобокая трапеция - трапеция, у которой боковые стороны равны. Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Высота трапеции – отрезок перпендикуляра от любой точки одного основания трапеции до её другого основания (или его продолжения). АН, ВЕ, FG – высоты. Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Равнобокая трапеция Прямоугольная трапеция АD HBFC EG А BC D MN

9 АD MN BC 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме : 2. Пусть ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, Е – точка пересечения ее диагоналей. Тогда 3. У равнобокой трапеции углы при основании равны: Площадь трапеции: а, b – основания; h – высота; с – средняя линия; d 1, d 2 – диагонали; - угол между диагоналями. BC Е АD BC а b c h d1d1 d2d2

10 1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°: 2.(Теорема Птолемея). Если четырехугольник вписан в окружность, то произведение его диагоналей равно сумме произведений его противолежащих сторон: 3. Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны: α a D C B A c b d

11 1. Сумма внутренних углов выпуклого п-угольника равна : 2. Сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°: 3. В выпуклом п-угольнике из каждой вершины можно провести (п – 3) диагоналей, которые разбивают п-угольник на (п – 2) треугольников. 4. Выпуклый п-угольник имеет диагоналей. A1A1 A2A2 AnAn α1α1 α2α2 α3α3 A1A1 A2A2 A3A3 A3A3

12 Площадь (S) – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1)равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура разбивается на части, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей; 3)площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. 1 ед.

13 1.Квадрат: а – сторона; d – диагональ. 2.Прямоугольник: а, b – стороны; d – диагональ; - угол между диагоналями. 3.Параллелограмм: а, b – стороны; α- угол между сторонами; h a, h b – высоты, проведенные к сторонам a и b соответственно; d 1, d 2 – диагонали; - угол между диагоналями. 4.Ромб: а – сторона; α – угол ромба; h – высота; d 1, d 2 – диагонали. a d a b d φ a b haha hbhb α d1d1 d2d2 φ

14 Треугольник: a, b, c – стороны; А, В, С – противолежащие им углы; h a, h b, h c – высоты к сторонам a, b, c соответственно; r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей; - полупериметр. - формула Герона; - для правильного треугольника. hchc a b c A B C

15 Площадь трапеции: а, b – основания; h – высота; с – средняя линия; d 1, d 2 – диагонали; - угол между диагоналями. Описанный многоугольник: а b c h d1d1 d2d2 р – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Произвольный четырехугольник: d 1, d 2 – диагонали; - угол между диагоналями.

16 Отношение длины окружности (С) к ее диаметру (D = 2R) является числом постоянным для всех окружностей; обозначается π («пи»): π = 3, … - иррациональное число. 1. Длина окружности: 2. Длина дуги окружности, содержащей α° или а радиан: R O

17 1.Круг: R – радиус; D – диаметр; C – длина дуги окружности Круговой сектор – часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла. R – радиус круга; α° или а радиан – соответствующий центральный угол; l – длина дуги сектора. R О сектор α°

18 Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: где R – радиус окружности, описанной около треугольника. Теорема косинусов Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: А В С b c a А В С b c a

19 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке – центре тяжести треугольника и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины угла: AO = 2OE, BO = 2OF, CO = 2 OD. 2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: 3. Если О – точка пересечения медиан, то 4. Медиана на сторону а вычисляется по формулам: А С В D А В С О А В С b a c mama А В С D F E O

20 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности. 2. Если СD – биссектриса угла С АВС, то 3. Точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла С в отношении, считая от вершины. 4. Биссектриса угла С вычисляется по формулам: Аналогичные свойства и формулы справедливы для биссектрис углов А и В треугольника АВС. A B C D A C B D O a b c A C B lclc b a c m n

21 1. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке – ортоцентре треугольника. 2. Если AD, BE, CF – высоты треугольника АВС, О – точка пересечения этих высот или их продолжений, то 3.Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику: 4. Высота на сторону с вычисляется по формулам: где S - площадь АВС. A C B hchc b a c A B C O E F D D A C B

22 I. По двум сторонам и углу между ними. C C 1 A B A 1 B 1 II. По стороне и прилежащим к ней углам. C C 1 A B A 1 B 1 III.По трем сторонам. C C 1 A B A 1 B 1

23 I. По двум катетам. B B 1 A C A 1 C 1 II. По гипотенузе и острому углу. B B 1 A C A 1 C 1 III. По гипотенузе и катету. B B 1 A C A 1 C 1

24 Косинус, синус, тангенс угла завися только от градусной меры угла и не завися от расположения и размеров треугольника. А С a В b c

25 А С a В b c В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: Египетский треугольник – прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5. Пифагоровы треугольники – прямоугольные треугольники, длины сторон которых – целые числа (например: 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25)

26 Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла: Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках): Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки: В1В1 В2В2 В3В3 В4В4 А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 В1В1 В2В2 В3В3 В4В4 А1А1 А2А2 А3А3 А4А4

27 Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов: Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу: Высота, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов: А В С D b a c bcbc acac h

28 I. По двум углам. Если, то II. По двум сторонам и углу между ними. Если, то III. По трем сторонам. Если, то

29 I. По острому углу. Если, то В II. По катетам. А С Если, то В 1 III. По гипотенузе и катету. А 1 В 1 Если, то