БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бойко Евгений Вячеславович Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых. - презентация

1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бойко Евгений Вячеславович Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей векторных задач дискретной оптимизации. Руководитель Долгополова Ольга Борисовна доцент кафедры теории функций, кандидат физ-мат. наук Кафедра теории функций

2 Структура работы 1.АктуальностьАктуальность 2.Цели и задачиЦели и задачи 3.Определение и примеры римановых поверхностейОпределение и примеры римановых поверхностей 4.Мероморфные функции и их свойстваМероморфные функции и их свойства 5.Пример построения мероморфной функцииПример построения мероморфной функции 6.ЗаключениеЗаключение Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей»

3 Актуальность Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» Проблема нахождения мероморфных функций является центральной в теории функции на римановых поверхностях. В настоящее время известны многочисленные теоремы существований мероморфных функций с различными особенностями. Однако эти теоремы не решают проблему нахождения аналитических выражений для мероморфных функций.

4 Цели и задачи Исследование римановых поверхностей и их свойств; Построение мероморфных функций на накрытиях римановых поверхностей; Практическая реализация рассмотренных примеров и задач. Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей»

5 Определение римановых поверхностей Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» Пусть Х – двухмерное многообразие (n-мерным многообразием называется хаусдорфово пространство Х, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной некоторому открытому подмножеству в ). Комплексной структурой на двухмерном многообразии Х называется класс эквивалентности биголоморфно согласованных атласов на Х. Риманова поверхность – это пара.

6 Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» Примеры римановых поверхностей 1.Гауссова числовая плоскость С. 2.Риманова числовая сфера 3.Торы. 4.Риманова поверхность корня. 5.Риманова поверхность алгебраических функций.

7 Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» Мероморфные функции и их свойства Пусть Х – риманова поверхность и Y – открытое подмножество Х. Мероморфной функцией на Y называется аналитическая функция, определенная на открытом подмножестве со следующими свойствами: 1. состоит только из изолированных точек; 2. для каждой точки имеем:. Точки множества называются полюсами функции f.

8 Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» Пример построения мероморфной функции на накрытиях римановых поверхностей Пусть риманова поверхность R задается уравнением Ее можно рассматривать как двулистную поверхность наложения сферы

9 Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» … Подстановка на разрезе. Возьмем два экземпляра поверхности R, разрежем вдоль прямых, лежащих над и «склеим» два таких экземпляра «крест- накрест». В результате получится четырёхлистная поверхность наложения сферы со следующими подстановками. На разрезе На разрезах

10 Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» … Находим поле мероморфных функций на R.

11 Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» В качестве решения будем искать вектор-функцию, порядок роста которой следующий Найдем матрицу N, осуществляющую одновременную диагонализацию матриц C и D, и перепишем для вектор- функции в виде: …

12 Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» … Из асимптотики для w(z) получим асимптотику для функции Ф(z): Выделяя координаты в неравенствах, получим требуемые скалярные задачи Римана на плоскости. Учитывая асимптотику запишем решение:

13 Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» … Возвращаемся к функции и учитывая найденные константы получаем искомое решение задачи:

14 Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей» … В итоге получаем:

15 Заключение Рассмотрены различные подходы к определению римановых поверхностей. Дано определение накрытий римановых поверхностей. Построена мероморфная функция на накрытиях римановых поверхностей. Бойко Е.В. «Построение мероморфных функций на накрытиях Римановых поверхностей»

16