Теоремы о производных суммы, произведения и частного, их следствия и обобщения. Связь непрерывности и дифференцируемости функций. - презентация

1 Теоремы о производных суммы, произведения и частного, их следствия и обобщения. Связь непрерывности и дифференцируемости функций.

2 Теорема. Если функция дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть f(x 0 ) = Тогда, следовательно, f(x) непрерывна в точке x 0, ч. т. д. Таким образом, дифференцируемость функции в точке является достаточным условием непрерывности функции в этой точке, то есть, если функция разрывна в точке x 0, то она в ней не дифференцируема!

3 Примеры. 1) Функция f(x) = не дифференцируема в точке x 0 = 1, так как она не определена в этой точке, следовательно, разрывна. 2) Функция f(x) = не дифференцируема в точке x 0 = 0, так как она в ней разрывна (хоть и определена!). Почему дифференцируемость функции в точке не является необходимым условием непрерывности в этой точке? [Функции f(x) = |x| и h(x) = непрерывны в нуле, но не дифференцируемы]

4 Теорема. Пусть существуют f(x) и g(x). Тогда существуют производные их суммы, произведения и частного, причем: 1) (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x); 2) (f(x) g(x)) = f(x)g(x) + g(x)f(x); 3),если g(x) 0.

5 Доказательство по определению: Пусть тогда h(x) =

6 1)Найдите: f(x); f( 1); значения x | функция не дифференцируема 2) g(x) = (3 + x)(2 – ). Найдите: g(x) 4) 3) h(x) =. Докажите, что h(x) =. Найдите f(x). При каких значениях x f(x) > 0?

7 Домашнее задание: теорема о связи непрерывности и дифференцируемости; теоремы о вычислении производных (с доказательством ); В.:1) 409 (1, 2); 414 (2, 4); 416; 431 (1). 2) Найдите: f(x); f(4); значения x, при которых функция не дифференцируема.