Формула Герона Попов Максим Группы : ТМ -16 Министерство общего и профессионального образования Ростовской области государственное бюджетное образовательное. - презентация

1 Формула Герона Попов Максим Группы : ТМ -16 Министерство общего и профессионального образования Ростовской области государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ростовской области « Таганрогский авиационный колледж имени В. М. Петлякова «

2 Формула Герона Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:площадь треугольника где p полупериметр треугольника: Площадь треугольника по формуле Герона равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника (p) и каждой из его.

3 Вариации Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

4 Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде. определителя

5 Аналоги формулы Герона 1) Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через m a, m b и m c

6 2) Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через h a, h b и h c, а полусумму их обратных величин обозначим через тогда имеем

7 3) Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через S = [ ( sin α ) + ( sin β ) + ( sin γ ) ]/2, тогда имеем

8 Геро́н Александри́ейский Древнегреческий ученный. Работал в Александрии. Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математике. В лучшей из них – »Метрике»- даны правила и формулы для точного и приближенного вычисления площадей правильных многоугольников, объемов усеченных конуса и пирамиды, шарового сегмента, пяти правильных многоугольников. Там же приводится формула Герона для вычисление площадей треугольников.

9

10 Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до н.э. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I в н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название Героновых треугольников. Простейшим Героновым треугольником является египетский треугольник

11 Формула Герона для треугольника. 1)Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними

12 2)Формула площади треугольники по трем сторонам и радиусу описанной окружности.

13 3)Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности. Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности S = p · r

14 Формула Герона для прямоугольного треугольника S = (p - a)(p - b)

15 равнобедренный треугольник рассмотрим АВС: АВ=АС=b, ВС – основание, ВС=a, AD – высота. Обычный способ вычисления площади – АВD: угол D=90°, по теореме Пифагора АВ=b, BD= По Формуле Герона мы имеем тот же результат:

16 Формула Герона для вычисления площади прямоугольника. c=a, d=b, p=a+b

17 произвольный треугольник по теореме косинусов с 2 =а 2 +b 2 -2abcosγ, значит с 2 -а 2 -b 2 =-2abcosγ. Углы треугольника могут лежать в пределах от 0 до π, функция sinx на этой области определения – положительная, поэтому |sinγ|=sinγ, и мы приходим к известной формуле

18 Аналог формулы Герона в стереометрии. V=1\6abc1-cos 2 α-cos 2 β-cos 2 γ+2cosαcosβcosγ. Эту формулу можно использовать для нахождения объёма тетраэдра, причем, здесь а, b и с – длины ребер тетраэдра, а α, β, γ – плоские углы трехгранного угла.

19