Т ү йіндес операторлар Операторлар теориясы – операторларды ң қ асиеттерін, оларды ң ә р т ү рлі есептерді шешуде қ олданылуын зерттейтін функционалды. - презентация

1

2 Т ү йіндес операторлар

3 Операторлар теориясы – операторларды ң қ асиеттерін, оларды ң ә р т ү рлі есептерді шешуде қ олданылуын зерттейтін функционалды қ анализ б ө лімі. [1] Оператор ұғ ымы – математиканы ң жалпы ұғ ымдарыны ң бірі. Мысалы, ә рбір x=(x1, x2, x3) векторына y=aі1x1+aі2x2+aі3x3 (і=1, 2, 3; aі1aі2aі3 – тияна қ ты сандар) ө рнегі ар қ ылы y=(y1, y2, y3) векторын с ә йкес қ ою ар қ ылы x векторын y векторына т ү рлендіретін y=А(x) операторы аны қ талады.операторларды ң [1]

4 Операторлар нормалан ғ ан ке ң істіктерде, ә сіресе, функционалды қ ке ң істіктерде жиі қ олданылады. Сызы қ ты қ операторлар: Операторларды ң жете зерттелген класы сызы қ ты қ операторлар болып есептеледі. Егер R сызы қ ты қ ке ң істікті ң кез келген x1, x2 екі элементі мен кез келген α ж ә не β екі саны ү шін А(αх+βу)=αА(x)+βА(у) те ң дігі орындалса, онда А операторы сызы қ ты қ оператор деп аталады.сызы қ ты қ оператор шектелген оператор: Егер y=А(x) элементі нормасыны ң х элементі нормасына қ атынасы, я ғ ни шектелген шама болса, онда А шектелген оператор делінеді. Сызы қ ты қ операторды ң шектелгендігі – оны ң ү здіксіз болуымен пара-пар шарт.

5

6

7

8 Егер y=А(x) операторы ә р т ү рлі x1, x2 элементтерін тек ә р т ү рлі y1, y2 элементтеріне ғ ана к ө шіріп отыратын болса, онда ә рбір у элементіне с ә йкес бір ғ ана т ү п бейне х элементі с ә йкес қ ойылады. Б ұ л с ә йкестік кері оператор деп аталады ж ә не y=А-1(x) т ү рінде белгіленеді. А1 ж ә не А2 екі операторды ң қ осындысы деп А(x)=А1(x)+А2(x) те ң дігімен аны қ талатын операторды айтады. Ал операторларды ң к ө бейтіндісі А=А2А1 алдымен А1 операторын со ң ынан А2 операторын қ олдануды ң н ә тижесі ретінде аны қ талады, я ғ ни А(x)=[А2А1(x)]. Бір операторды n рет қ айталап қ олдану ар қ ылы А операторыны ң n д ә режесі аны қ талады. А операторын λ санына к ө бейту (λА)(х)=λА(x) те ң дігімен орындалады. Кез келген элементті ө зін- ө зіне ауыстыратын Е операторы бірлік оператор деп, ал кез келген элементті н ө лге ауыстыратын оператор н ө лдік оператор делінеді. Операторларды ө зара қ осу, к ө бейту ж ә не сан ғ а к ө бейту амалдарын орындай отырып, сызы қ ты қ операторлардан к ө пм ү шеліктер, қ атарлар құ ру ғ а болады. Операторлар теориясыны ң ішінде Гильберт ке ң істігіндегі сызы қ ты қ операторлар толы ғ ыра қ зерттелген. А – Гильберт ке ң істігіндегі (Н) шектелген сызы қ ты қ оператор болсын. Егер λ комплекс саны ү шін х*Н, х*0 элементі табылып ж ә не ол ү шін А(х)=λx те ң дігі орындалса, онда λ саны А операторыны ң меншікті м ә ні деп, ал х – осы меншікті м ә нге с ә йкес А операторыны ң меншікті векторы деп аталады. Егер барлы қ х, у*Н ү шін скаляр к ө бейтіндісі (А х, у)=(х, А* у) болса, онда А* операторы А операторына т ү йіндес делінеді. Егер А*=А болса, ө зіне т ү йіндес деп, ал А*=А–1 болса, онда А унитар оператор деп аталады. Гильберт ке ң істігіндегі сызы қ ты қ операторларды ң е ң қ арапайым класы ү здіксіз операторлар, ал шектелмеген сызы қ ты қ операторларды ң е ң ма ң ызды класы – дифференциалды операторлар.элементтін ө лгеГильберт ке ң істігіндегівекторыунитар оператордифференциалды операторлар

9 Кейбір жа ғ дайларда сызы қ ты қ емес операторларды да қ арастыру ғ а тура келеді. Физика мен механикада сызы қ ты қ емес интегралды қ операторларды ң ма ң ызы зор, сондай-а қ математикалы қ анализде, дифференциалды ж ә не интегралды қ те ң деулерде, геометрияда, алгебрада, т.б. салаларда Операторлар теориясы ке ң інен қ олданылады. Қ аза қ станда Операторлар теориясынн зерттеумен М. Ө телбаев, Н.Білиев, І. Қ асымов, Т. Қ алменов, Г.Бижанова, т.б. айналысады.Физикамеханикадаинтегралды қ

10 Операторлар – берілген ж ү йені сипаттайтын функцияны т ү рлендіруді ң математикалы қ т ү рлі операцияларын (алгебралы қ, дифференциалды қ, интегралды қ, т.б.) жасайтын математикалы қ ө рнек.функцияныматематикалы қоперацияларынинтегралды қ Физикада ә рбір динамикалы қ шама ғ а бір математикалы қ оператор с ә йкестеледі. Операторларды ң математикалы қ жолмен жан-жа қ ты зерттелген т ү рі – Гильбертке ң істігіндегі сызы қ ты қ т ү рі. М ұ ндай сызы қ ты қ Операторларды ң ө здік м ә ні сол оператор сипаттайтын физикалы қ шаманы ң ө зіне те ң, ал операторды ң ө здік функциясы – зерттеп жат қ ан ж ү йені сипаттайтын функцияларды ң толы қ жина ғ ы болып табылады.динамикалы қоператорГильберт

11 Оператор, математикада – математикалы қ ұғ ым. Оператор ұғ ымы к ө біне функционалды қ анализде, сызы қ ты қ алгебрада, векторлы қ ке ң істікті бейнелеуде қ олданылады. М ұ нда А операторы R сызы қ ты қ ке ң істігінде жат қ ан х элементін R3 сызы қ ты қ ке ң істігінде жат қ ан у элементіне ауыстырады: y=А(x). А О-ы кей жерлерде аны қ талмауы м ү мкін, онда оны ң аны қ талу облысы DA=D(A) ізделінеді. Егер Х пен Y векторлы қ ке ң істік болса, Х-ті ң элементін Y-ті ң элементіне бейнелейтін барлы қ Операторлар жиынынан сызы қ ты қ операторлар класын б ө ліп алу ғ а болады, ал қ ал ғ аны сызы қ ты қ емес Операторлар деп аталады. Егер Х пен Y топологиялы қ векторлы қ ке ң істік болса, Х-тен Y-ке бейнелейтін О-лар жиынынан ү зіліссіз Операторлар класын, шектелген Операторлар класын, сызы қ ты қ компакт Операторлар класын б ө ліп алу ғ а болады. Топологиялы қ векторлы қ ке ң істікте сызы қ ты қ Операторларды қ арастыру функционалды қ анализді ң басты б ө лімін құ райды. Физыка ж ә не матемематика анализді ң к ө птеген м ә селелерінде дифференциалды қ Операторлар мен интегралды қ Операторлар ма ң ызды р ө л ат қ арады. Операторларды ң ә р т ү рлі қ асиеттерін, олар ғ а ж ү ргізілетін амалдарды ж ә не Операторларды ң ә р т ү рлі математикалы қ есептерді шешу кезінде қ олданылуын зерттеу м ә селелерімен операторлар теориясы ш ұғ ылданадыматематикадаэлементінетопологиялы қвекторлы қфункционалды қ анализді ңФизыкаинтегралды қ

12