Модель свободных электронов, также известна как модель Зоммерфельда или модель Друде-Зоммерфельда, простая квантовая модель поведения валентных электронов. - презентация

1

2 Модель свободных электронов, также известна как модель Зоммерфельда или модель Друде-Зоммерфельда, простая квантовая модель поведения валентных электронов в металле, разработана Арнольдом Зоммерфельдом на основе классической модели Друде с учётом квантово-механической статистики Ферми Дирака. Электроны металла рассматриваются в этой модели как Ферми-газ.электронов металле Ферми-газ Отличие модели Зоммерфельда от модели Друде в том, что в кинетических процессах участвуют не все валентные электроны металла, а только те, которые имеют энергию в пределах от энергии Ферми, где К постоянная Больцмана, T температура. Это ограничение возникает благодаря принципу Паули, запрещающему электронам иметь одинаковые квантовые числа. Как следствие при конечных температурах состояния с низкими энергиями заполнены, что препятствует электронам изменить свою энергию или направление движения.

3 Несмотря на свою простоту, модель объясняет много разных явлений, среди которых: закон Видемана-Франца; закон Видемана-Франца температурная зависимость теплоёмкости; электрическая проводимость; термоэлектронная эмиссия и автоэлектронная эмиссия; форма плотности состояний электронов; диапазон значений энергий связи.

4 Уравнение Шредингера для свободного электрона имеет вид Волновая функция может быть разделена на пространственную и временную части. Решением зависимого от времени уравнения будет с энергией Решением пространственной, независимой от времени части будет с волновым вектором. имеют объём пространства, где может находиться электрон. Кинетическая энергия электрона задаётся уравнением: Решением в виде плоской волны этого уравнения Шрёдингера будет Физика твёрдого тела и физика конденсированных сред в основном занимаются независимым от времени решением. Учёт периодичности кристаллической решётки по теореме Блоха изменяет эту функцию на где периодическая функция. Изменяется также зависимость энергии от волнового вектора. Для учёта этих модификаций широко применяются разнообразные модельные гамильтонианы, например: приближение почти свободных электронов, приближение сильной связи и так далее.

5 Принцип Паули запрещает электронам иметь волновые функции с одинаковыми квантовыми числами. Для электрона, описываемого волной Блоха, квантовыми числами являются квази-импульс и спин. Основное состояние электронного газа соответствует ситуации, когда заполнены все одноэлектронные состояния с наименьшей энергией до определенной энергии, которая называется энергией Ферми. Для параболической зоны энергия задана как,такое заполнение означает, что все состояния с волновым вектором меньше, чем,,, который называют волновым вектором Ферми, заняты. Вектор Ферми равен Где общее количество электронов в системе, а V полный объём. Тогда энергия Ферми В приближении почти свободных электронов -валентного металла следует заменить на, где полное количество ионов металла.

6 При ненулевой температуре электронная подсистема металла не находится в основном состоянии, однако разница будет оставаться относительно небольшой, если, что обычно выполняется. Вероятность того, что одноэлектронное состояние с энергией E будет занятым, задаётся функцией Ферми где электрохимический потенциал. При абсолютном нуле температуры.

7 Модель Зоммерфельда помогла преодолеть проблему модели Друде с величиной длины свободного пробега электронов. В модели Друде плотность электрического тока задается формулой где плотность электронов, время релаксации. Если равно числу валентных электронов в твёрдом теле, то для получения реальных значений проводимости металлов время релаксации, а следовательно и длина пробега электрона должны быть малыми, что противоречит теории идеального газа. В модели Зоммерфельда доля электронов с энергией, близкой к энергии Ферми. Она пропорциональна малой величине. Тогда электронов, которые могут ускоряться электрическим полем, в металле относительно мало, но длина их пробега велика.

8

9

10

11

12