Метод математической индукции.. Дедуктивный и индуктивный метод В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. - презентация

1 Метод математической индукции.

2 Дедуктивный и индуктивный метод В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

3 Полная и неполная индукция Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

4 Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4n20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. Каждое из интересующих нас чисел представляется в виде суммы двух простых слагаемых. Полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

5 Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи.

6 Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n. Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение: 1. проверяют сначала его справедливость для n=1. 2.предполагают, что при любом натуральном значении k утверждение справедливо. 3. доказывают справедливость утверждения при n=k тогда утверждение считается доказанным для всех n.

7 Есть три стержня и колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стержня на другой?

8 Докажите, что любые n прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в точках.

9 » 1. [БАЗА]Проверим, работает ли эта формула при n=1: » 2.[ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ] Предположим, что тождество верно при n=k, то есть » 3.[ШАГ] Шаг индукции будет соответствовать проверке этого тождества при n=k+1, то есть нужно доказать, что » 4.[ВЫВОД] Тождество верно для любого.

10 Задача 1. Докажите, что сумма углов выпуклого n-угольника равна В частности, для треугольника получаем а для четырехугольника Задача 2. Доказать, что при любом n справедливо утверждение: …+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6. Задача 3. Доказать, что 3 3n n-3 при произвольном натуральном n делится на 11..

11