ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ. - презентация

1 ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

2 Домашнее задание §1.3.1,§1.3.2 Письменно 2, 7

3 Построение таблиц истинности для логических выражений подсчитать n - число переменных в выражении подсчитать общее число логических операций в выражении установить последовательность выполнения логических операций определить число столбцов в таблице заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции определить число строк в таблице без шапки: m =2 n выписать наборы входных переменных провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью

4 ABA&BA V A&B А V A & B n = 2, m = 2 2 = 4. Приоритет операций: &, V Пример построения таблицы истинности Дом. Задание 57,58

5 Равносильные логические выражения AB ABAvB Равносильные логические выражения - это выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, обозначают =. Докажите равносильность выражений: Таблица истинности для

6 построить таблицу истинности

7 Домашнее задание §1.3.1,§1.3.2 Письменно 2, 7

8 Свойства логических операций Законы алгебры-логики A & B = B & A A V B = B V A A&(B V C)= (A&B) V (A&C) A V (B&C) = (A V B)&(A V C) (A & B) & C = A & ( B & C) (A V B) V C =A V ( B V C) Переместительный Сочетательный Распределительный Закон двойного отрицания Закон двойного отрицания Ā = A A & Ā = 0 A V Ā = 1 A & 0=0; A &1 = A A V 0 = A; A V 1 = 1 A & A = A A V A = A Закон исключения третьего Закон исключения третьего Закон повторения Законы операций с 0 и 1 Законы операций с 0 и 1 Законы общей инверсии Законы общей инверсии A & B = Ā V B A V B = Ā & B

9 ABCB&CA v (B & C)A v BA v C(A v B) & (A v C) Распределительный закон для логического сложения: A v (B & C) = (A v B) & (A v C). Доказательство закона Умножаем В на С и выводим результат Складываем А и В и выводим результат Складываем А и (В&С) и выводим результат Складываем А и C и выводим результат Умножаем (АvB) на (AvC )и выводим результат Равенство выделенных столбцов доказывает распределительный закон. Дом.работа 57,58

10 Задача 1. Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу. Решение логических задач На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы: Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал. Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля. Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа. Бабушка знала, что один из её внуков (правдивый), оба раза сказал правду; второй (шутник) оба раза сказал неправду; третий (хитрец) один раз сказал правду, а другой раз - неправду. Назовите имена правдивого, шутника и хитреца. Кто из внуков разбил вазу? Дом. работа: 63,67

11 KBCУтверждение Серёжи Утверждение Васи Утверждение Коли KC СВКС Решение. Пусть К =«Коля разбил вазу», В =«Вася разбил вазу», С =«Серёжа разбил вазу». Представим в таблице истинности высказывания каждого мальчика. Так как ваза разбита одним внуком, составим не всю таблицу, а только её фрагмент, содержащий наборы входных переменных: 001, 010, 100. На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы: Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал. Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля. Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа.

12 KBCУтверждение Серёжи Утверждение Васи Утверждение Коли KC СВКС Решение. Пусть К =«Коля разбил вазу», В =«Вася разбил вазу», С =«Серёжа разбил вазу». Представим в таблице истинности высказывания каждого мальчика. Так как ваза разбита одним внуком, составим не всю таблицу, а только её фрагмент, содержащий наборы входных переменных: 001, 010, 100. Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать в таблице строки, содержащие в каком-либо порядке три комбинации значений: 00, 11, 01 (или 10).

13 Задача 2. В три горшка посадили семена розы, георгина, тюльпана. Но горшки перепутали. Выясните, в каком горшке растет роза, если известно, что в каждом высказывании не менее одного правильного предположения. a) Роза растет в первом горшке, а георгин в третьем. b) Роза – во втором, а тюльпан в третьем. c) Тюльпан растет в первом, а георгин в третьем. Решение. Введем обозначения: X Y – цветок X растет в горшке Y;Р - роза, Г - георгин, Т – тюльпан;1 – первый горшок, 2 – второй, 3- третий. Ответ: роза растет во втором горшке.

14 a F ab F Переключательные схемы Последовательное соединение Параллельное соединение

15 Логический элемент – устройство, которое после обработки двоичных сигналов выдаёт значение одной из логических операций. & А В И (конъюнктор) 1 А В ИЛИ (дизъюнктор) НЕ (инвертор) А Логические элементы

16 Какой сигнал должен быть на выходе при каждом возможном наборе сигналов на входах? Анализ электронной схемы Решение. Все возможные комбинации сигналов на входах А и В внесём в таблицу истинности. Проследим преобразование каждой пары сигналов при прохождении их через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу. Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную схему. А 0010 В 0101 & 0010 F 1010 ABF В инвертор поступает сигнал от входа В. В конъюнктор поступают сигналы от входа А и от инвертора. Таким образом, F = A & B.

17 Решить задачу Дом. работа: 66(б)

18 Высказывание это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. Основные логические операции, определённые над высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Название логической операции Логическая связка Обозначение Инверсия«не, «неверно, что» ¬, Конъюнкция«и», «а», «но», «хотя» & Дизъюнкция«или» V Таблицы истинности для основных логических операций: АĀ ABA&BA&BAVBAVB При вычислении логических выражений сначала выполняются действия в скобках. Приоритет выполнения логических операций: ¬, &, V. Самое главное

19 Вопросы и задания Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями. 1) Какого цвета этот дом? 2) Число Х не превосходит единицы. 3) 4 Х +3. 4) Посмотрите в окно. 5) Пейте томатный сок! 6) Эта тема скучна. 7) Рикки Мартин - самый популярный певец. 8) Вы были в театре? Приведите по одному примеру истинных и ложных высказываний из биологии, географии, информатики, истории, математики, литературы. В следующих высказываниях выделите простые высказывания, обозначив каждое из них буквой. Запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. 1) Число 376 чётное и трёхзначное. 2) Зимой дети катаются на коньках или на лыжах. 3) Новый год мы встретим на даче или на Красной площади. 4) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. 5) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым. 6) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу. Постройте отрицания следующих высказываний. 1) Сегодня в театре идёт опера «Евгений Онегин». 2) Каждый охотник желает знать, где сидит фазан. 3) Число 1 есть простое число. 4) Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми числами. 5) Неверно, что число 3 не является делителем числа ) Коля решил все задания контрольной работы. 7) Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом. 8) Некоторые млекопитающие не живут на суше. Пусть А = «Ане нравятся уроки математики», а В = «Ане нравятся уроки химии». Выразите следующие формулы на обычном языке: Рассмотрите представленные на рисунке электрические схемы: Проведите аналогию между элементами электрических схем и объектами и операциями алгебры логики: Электрическая схема Алгебра логика Переключатель Переключатель включен Переключатель выключен Последовательное соединение переключателей Параллельное соединение переключателей 220 В A и B A B 220 В A или B A B Выясните, какой сигнал должен быть на выходе электронной схемы при каждом возможном наборе сигналов на входах. Составьте таблицу работы схемы. Каким логическим выражением описывается схема? 1 F А В

20 Вопросы и задания Разбирается дело Джона, Брауна и Смита. Известно, что один из них нашёл и утаил клад. На следствии каждый из подозреваемых сделал два заявления: Смит: «Я не делал этого. Браун сделал это». Джон: «Браун не виновен. Смит сделал это». Браун: «Я не делал этого. Джон не делал этого». Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду. Кто из подозреваемых должен быть оправдан? Алёша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения: 1) Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке». 2) Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке». 3) Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке». Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

21 Опорный конспект Инверсия Конъюнкция Дизъюнкция Высказывание – это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. АĀ ABA&BA&B ABAVBAVB Приоритет выполнения логических операций: ¬, &, V. Основные логические операции Основные логические операции

22 Источники информации b892beca45/?interface=catalog&class=51&subject=19 – Элементарные логические операции 88b892beca45/?interface=catalog&class=51&subject= jpg - Аристотель jpg 3. g - Аристотель g 4. g - Джордж Буль Клод Элвуд Шеннон мальчик boys.jpg%3Fw%3D283%26h%3D494 – мальчик мальчик 3