С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а 1.Найдите промежутки возрастания и убывания функции. а) а) б) б) 2. Исследуйте функцию у=f(x) на максимум и минимум. - презентация

1 С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции. а) а) б) б) 2. Исследуйте функцию у=f(x) на максимум и минимум. а) а) б) б) 3. Найти все значения а, при которых для всех действительных значений х, если

2 Использование второй производной для исследования функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции Использование второй производной для исследования функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции

3 Дана функция у = f (x) На интервале (а, b) функция у = f (x) непрерывна и дифференцируема, причем f '(x) >0 При построении эскиза графика функции у = f (x) интервале (а, b) возможны несколько случаев. Чем отличается поведение графика каждой функции на интервале? а b у

4 В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия: выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции

5 Выпуклая вверх (выпуклая кривая) выпуклой вверх Кривая называется выпуклой вверх в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной у а х

6 Выпуклая вниз (вогнутая кривая) Кривая называется выпуклой вниз в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной у а х

7 Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая) у 0 a b х

8 Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая) у 0 a b х

9 График функции у = f (х) – вогнутая кривая Величина углов α1, α2, α3… растет, увеличиваются и тангенсы этих углов. Если функция возрастает, то ее производная положительна. Производная функции f(х) – это производная производной (f (х)) = f (х) и f (х) >0 В трех точках проведем касательные α 1 < α 2 < α 3 < …

10 α1α1 График функции у = f (х) – выпуклая кривая tgα = f(х), следовательно, убывает функция f(х) В двух точках проведем касательные, производная функции y = f (х) (f (х)) = f (х) - отрицательна, т.е. f (х) < 0 α1 > α2 > α3 > … тангенсы углов α1, α2, α3… убывают Вывод: Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.

11 ЗАПОМНИ!!! Если вторая производная функции у = f (х) на данном интервале положительна, то кривая вогнута а если отрицательна – выпукла на данном интервале

12 Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба

13 Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции: Найти: 1. Вторую производную 2. Точки, в которых она равна нулю или не существует 3. Интервалы, на которые область определения разбивается этими точками 4. Знаки второй производной в каждом интервале Если f '(х) < 0, то кривая выпукла, если f '(х) > 0 – вогнута.

14 Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба Вариант 1 у = х³ - 12 х + 4 Вариант 2 у = ¼ х 4 – 3/2 х²

15 Проверка Вариант 1 у = х³ - 12 х + 4 х – любое число f'(х) = 3 х² - 12 f''(х) = 6 х 6 х = 0 х = 0 Интервалы выпуклости: (-, 0) Интервалы вогнутости: (0, +) - + f 0 f х = 0 – точка перегиба

16 Проверка Вариант 2 у = ¼ х 4 – 3/2 х² х – любое число f'(х) = х³ - 3 х f''(х) = 3 х² - 3 = 3(х – 1)(х + 1) х = 1 х = -1 Интервалы выпуклости: (-1, 1) Интервалы вогнутости: (-, -1) и (1, +) f f х = 1 и х = -1 – точки перегиба

17 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Решение упражнений с (а, б), 791 (б) ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ §20 786, 788