ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 3 Дифференциальное исчисление Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР. - презентация

1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 3 Дифференциальное исчисление Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР

2 Дифференциальное исчисление Логарифмическое дифференцирование Пусть функция f (x) > 0. По теореме о производной сложной функции: Выразим отсюда производную:

3 Пример 1: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Найти производную функции Дифференциальное исчисление Логарифмическое дифференцирование

4 Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Логарифмическое дифференцирование Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной сложной функции вида представляющей собой «функцию в степени функция».

5 Пример 2: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Найти производную функции Дифференциальное исчисление Логарифмическое дифференцирование

6 Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производная функции, заданной параметрически Пусть функция у переменной х задана параметрически: Предположим, что функция x = x (t) имеет обратную функцию t = t (x), определённую в некоторой окрестности точки x 0 = x (t 0 ), а также существуют производные x(t 0 ) и y(t 0 ). где функции (t), (t) определены в некоторой окрестности точки t 0. Тогда:

7 Пример: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Найти производную Дифференциальное исчисление Производная функции, заданной параметрически функции, заданной уравнениями

8 Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производная функции, заданной неявно 1. Дифференцируем тождество по переменной х как сложную функцию, предполагая, что у = f (х). Пусть функция у переменной х задана неявно уравнением 2. Из полученного уравнения пытаемся выразить у х = f (х). Для нахождения у х :

9 Пример: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР в точке х 0 = 0. Найти производную неявной функции, заданной уравнением Дифференциальное исчисление Производная функции, заданной неявно

10 Определение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Дифференцируемость функции где А – некоторое число; о( x) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x при Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х 0, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде

11 Теорема: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Дифференцируемость функции Если функция f (x) дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в ней. Для того чтобы функция f (x) была дифференцируемой в точке х 0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная f (x) = A. Следствие: Обратное утверждение неверно.

12 Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Дифференциал функции Из определения дифференцируемости функции и её производной получаем, что Если то Значит, при имеем

13 Определение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Дифференциал функции Таким образом, по определению Главная линейная часть приращения функции f (x) в точке х 0 называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается df (x 0 ).

14 Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Перепишем выражение для дифференциала функции в виде Пусть y = f (x) – некоторая функция. Это выражение представляет собой уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке х 0. Геометрический смысл дифференциала функции

15 Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Свойства дифференциала функции Для дифференциалов двух функций f (x) и g(x) справедливы следующие формулы:

16 Пример: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР в точке х 0 = 1. Найти дифференциал функции Дифференциальное исчисление Дифференциал функции

17 Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Приложения дифференциала функции С помощью дифференциала можно приближённо вычислять значения функции f (x) для значений x, близких к некоторому значению x 0. Имеем: Тогда или

18 Пример: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Вычислить приближённо Дифференциальное исчисление Приложения дифференциала функции

19 Высшая математика Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР math.mmts-it.org