Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. - презентация

1 Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

2 Геометрию интересуют соотношения между элементами треугольника Какие виды треугольников вы знаете? Какое соотношение, связанное с углами треугольника вам известно? Сумма углов треугольника равна 180° Выясним соотношения между сторонами и углами треугольника

3 Теорема В треугольнике: 1)против большей стороны лежит больший угол; 2)против большего угла лежит большая сторона. О какой фигуре идет речь в теореме ? Соотношения каких элементов рассматриваются в первой части теоремы? Дано: АВС; 1) АВ – большая сторона. Доказать, что С - больший. 2) С – наибольший. Доказать, что АВ – большая сторона. В С А Что требуется доказать в первой части теоремы? рассматриваются во второй части Что требуется доказать во второй части

4 Поиск способа доказательства А В С I. В математике часто, чтобы сравнить углы, нужно иметь фигуру, свойство углов которой уже известно. Для каких фигур известно свойство углов? Выполним дополнительное построение так, чтобы получился равнобедренный треугольник. D 1 2 Как связаны углы 1 и С 1 и 2 2 и В С>1 (так как 1 является частью С) 1=2 (как углы при основании равнобедренногоDАС) 2>В (2 является внешним углом ВDС) Какой вывод можно сделать об углах С и В?С>В Докажем II часть теоремы методом от противного. Составьте план доказательства I части С чего начинаем доказательство этим методом? Тогда 1) АВ<АС или 2) АВ=АС. Какой вывод можно сделать из 1) предположения? С<В С=В Видит ли кто-нибудь противоречие? Составьте план доказательства II части. ? Допустим, что АВ – не наибольшая. Какой вывод можно сделать из 2) предположения? Какой вывод можно сделать? АВ – наибольшая сторона

5 Работа по учебнику с доказательством Изучите доказательство, предложенное в школьном учебнике Назовите основной прием, используемый при доказательстве первой части теоремы? Выделите основные этапы доказательства первой части теоремы? Метод от противного. Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС. Так как АD 1. Угол 2 - внешний угол треугольника ВDС, поэтому 2> В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника АDС. Таким образом, С> 1, 1= 2, 2> В. Отсюда следует, что С> В. 2) Докажем, что АВ>АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=АС, либо АВ С (против большей стороны лежит больший угол). И то, и другое противоречит условию: С> В. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ>АС. Теорема доказана. Доказательство: 1) Докажем, что С> В. С D 1 2 В А Выделите основные этапы доказательства второй части теоремы? Назовите основные приемы, используемый при доказательстве теоремы? Назовите основные прием, используемый при доказательстве второй части теоремы? метод использования фигуры, свойство углов которой известно

6 Оформление доказательства АВ>АС С D 1 2 В А I. Докажем, что АВ>АС 1. Дополнительное построение: отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС. 2. Рассмотрим получившиеся углы: С>1 (угол 1 является частью угла С) 1=2 (как углы при основании равнобедренного треугольника DАС) 2>В (Угол 2 - внешний угол треугольника ВDС) II. Докажем, что АВ - наибольшая Предположим, что это не так. Тогда АВ<АС или АВ=АС. С<В С=В Так как против большей стороны лежит больший угол Как углы при основании равнобедренного треугольника АВС Противоречие с условием С>В. 3. Значит С>В Оформите доказательство теоремы Сравните свое доказательство с предложенным и сделайте выводы

7 Итоги работы С какими фактами познакомились? В треугольнике: 1)Против большей стороны лежит больший угол; 2)Против большего угла лежит большая сторона. Какую фигуру характеризует данные факты? Треугольник. Можно ли назвать данную теорему свойством треугольника? Да, так как в условии теоремы сказано о треугольнике. Что полезно запомнить из работы с теоремой? 1. При изучении доказательства, предложенного в учебнике, полезно выделить этапы доказательства; 2. Геометрию интересуют соотношения между элементами фигуры; 3. При доказательстве утверждений, связанных с расположением углов в треугольнике используют метод от противного; 4. В математике, чтобы сравнить углы, удобно иметь фигуру, свойства углов которой уже известно.