Производная. Исторические сведения Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач: Дифференциальное. - презентация

1 Производная

2 Исторические сведения Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач: Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии 1) о разыскании касательной к произвольной линии 2) о разыскании скорости при произвольном законе движения 2) о разыскании скорости при произвольном законе движения Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

3 Понятие производной Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х 0 - произвольная точка этого промежутка Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х 0 - произвольная точка этого промежутка Дадим аргументу x приращение x, тогда функция y = f(x) получит приращение y = f(x + x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение y / x приx 0, называется производной от функции f(x). Дадим аргументу x приращение x, тогда функция y = f(x) получит приращение y = f(x + x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение y / x приx 0, называется производной от функции f(x). y'(x)= y'(x)=

4 Правила дифференцирования и таблица производных C' = 0 (x n ) = nx n-1 (sin x)' = cos x x' = 1 (1 / x)' = -1 / x 2 (cos x)' = -sin x (Cu)'=Cu' (x)' = 1 / 2x (tg x)' = 1 / cos 2 x (uv)' = u'v + uv' (a x )' = a x ln x (ctg x)' = 1 / sin 2 x (u / v)'=(u'v - uv') / v 2 (e x )' = e x (arcsin x)' = 1 / (1- x 2 ) (log a x)' = (log a e) / x (arccos x)' = -1 / (1- x 2 ) (ln x)' = 1 / x (arctg x)' = 1 / (1+ x 2 ) (arcctg x)' = -1 / (1+ x 2 )

5 Физический смысл производной Производная – это скорость. S (t) = V (t) V (t) = a (t)

6 Геометрический смысл производной Производная функция в точке равна угловому коэффициенту касательной проведенной графику функции данной точки. f (Xo) = k, f (Xo) = tg a, (k = tg a)

7 Уравнение касательной y = f (Xo) = f (Xo)*(X-Xo)

8 Уравнение нормали Y = f(Xo)-1/(f(Xo))*(X-Xo)

9 Касательная к кривой Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M. Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M. Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + x, его значению соответствует значение функции y0 + y = f(x0 +x). Соответствующая точка - N(x0 + x, y0 + y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что y / x = tg φ. Если теперь x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой, секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол φ - меняться. Если при x 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент: Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + x, его значению соответствует значение функции y0 + y = f(x0 +x). Соответствующая точка - N(x0 + x, y0 + y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что y / x = tg φ. Если теперь x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой, секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол φ - меняться. Если при x 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:

10 Касательная к кривой x x+Δx Δx Δy M φα N То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)). То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)). Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y. Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y.

11 Касательная плоскость к поверхности Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания. Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания. Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t). x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t). Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t: Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t:

12 Касательная плоскость к поверхности Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид: Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид: Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так: Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так: F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0 F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0 и для частного случая z = f(x, y): и для частного случая z = f(x, y): Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0) Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0) Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида Решение: Решение: Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1 Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1 Уравнение искомой плоскости: Уравнение искомой плоскости: Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a

13 Дифференциал Дифференциалом или главной частью приращения функции у = f(x) в точке х, соответствующим приращению x, называется произведение производной f (x), вычисленной в точке х, на x

14 Основные свойства дифференциала 1)dc = 0, где c = const; 2)d (cu) = cdu; 3)d (u +v) = du + dv; 4)d (uv) = udv + vdu; 5)d (u/v) = (vdu – udv)/v^2 6)df (u) = f (u) du.

15 Геометрический смысл дифференциала функции Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке М (х ; у).

16 Применение производной В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин. В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин. Формула производной широко применимы в настоящее время, в экономическом анализе. Они помогают точно вывести данные об изменении экономики государства. Используя их, можно совершенно точно просчитать, как можно увеличить доход государства и за счёт чего он может быть увеличен. Формула производной широко применимы в настоящее время, в экономическом анализе. Они помогают точно вывести данные об изменении экономики государства. Используя их, можно совершенно точно просчитать, как можно увеличить доход государства и за счёт чего он может быть увеличен.

17 Благодарим за внимание