Ребята, вы хорошо знаете, что такое натуральные числа. Это числа которые мы используем при счете: 1,2,3,… Обозначают множество натуральных чисел символом:. - презентация

1

2 Ребята, вы хорошо знаете, что такое натуральные числа. Это числа которые мы используем при счете: 1,2,3,… Обозначают множество натуральных чисел символом:. Множество натуральных чисел бесконечно, причем для любого натурального числа, всегда найдется число больше данного. Если к натуральным числам прибавить 0, и все отрицательные числа -1,- 2,-3… то получается множество действительных чисел, которое принято обозначать Ввод отрицательных чисел был необходим для того чтобы из меньших чисел можно было вычитать большие. Сумма, разность, произведение – снова дают целые числа.

3 Если к множеству целых чисел, добавить множество всех обыкновенных дробей Первое упоминание о дробях появилось еще в древнем Египте, при вычислении длин, веса и площадей люди столкнулись с тем, что не всегда получается целое значение. Да и вообще дроби в узком смысле встречаются практически везде, когда мы делим пирог на несколько частей, с математической точки зрения мы получаем дроби. Множество дробей принято называть множеством рациональных чисел и обозначать. Любое рациональное число может быть представлено в виде: То есть любое целое число, разделив на натуральное число, мы получим рациональное число. Деление на натуральное число в такой записи удобно, в том смысле, что мы исключили операцию деления на ноль. Рациональных чисел бесконечно много, но зато все эти числа можно перенумеровать. Рассмотрев множества выше, мы видим, что каждое последующее содержит в себе предыдущие:

4 Давайте рассмотрим три рациональных числа: Каждое из этих чисел мы можем представить в виде бесконечной десятичной дроби: 5= …, 0.385= …., разделив столбиком 2 на 3 так же получим бесконечную десятичную дробь: Таким образом любое рациональное число мы можем представить в виде бесконечной дроби. Для теоретической математики это имеет большое значение, а вот для практики и нам с вами при решении задач большого смысла нет представлять обычную пятерку в виде бесконечной десятичной дроби. Если в десятичной записи числа повторяются одни и те же числа, то это называется периодом, в нашем случае для числа периодом будет число 6. Обычно период числа принято обозначать в скобках. Сама дробь в таком случае называется бесконечной десятичной периодической дробью. Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Обратная операция так же верна.

5 Пример. Представить в виде обыкновенной дроби: а) 2,(24) б) 1,(147) Решение. а) Пусть x=2,(24). Помножим наше число, так чтобы запятая передвинулась вправо, ровно на период. 100 х=224,(24) Выполним следующую операцию: 100 х-х=224,(24)-2,(24) 99 х=222 б) Поступим так же. х=1,(147), тогда 1000 х=1147,(147) х-х=1147,(147)-1,(147) 999 х=1146

6 К сожалению, описать все числа с помощью множества рациональных чисел не удалось. На прошлом уроке мы с вами познакомились с операцией вычисления корня квадратного. Так длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами равными 1 и 2 равна, но это число не может быть представлено в виде несократимой дроби, а значит, не является рациональным. Таким образом, нам необходимо расширить наше понимание о множествах чисел. В математике не принято говорить, что число не рациональное, обычно говорят, что такие числа иррациональные. По другому говоря иррациональное число – неразумное число, в некотором смысле непонятное. Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, но в отличие от рациональных чисел никакого периода уже тут не будет. То есть выделить порядок в записи хвостика числа не возможно. Вы можете убедиться в этом сами, возьмите калькулятор и вычислите … Калькулятор вычислит приближенное значение, с точностью до того знака который умещается на экран. Посмотрев на полученные числа, можно убедиться, что после запятой явно ни какого порядка нет.

7 Иррациональным числом называют бесконечную непериодическую дробь. Если, где n,k, то есть n не является точным квадратом другого натурально числа, то иррациональное число. Иррациональные числа встречаются довольно таки часто, одним из самых ярких примеров является знаменитое и важное число. Если рассмотреть совершенно любую окружность и разделить ее длину на диаметр то всегда, получается. Было доказано, что это число иррациональное. Операции над иррациональными числами проводить довольно таки сложно, и даже в современной математике остались вопросы о роде многих чисел и многие математики занимающиеся теорией чисел бьются над известными проблемами иррациональных в течение сотен лет.

8 Но мы можем подвести некоторый итог: 1. Если складывать, вычитать, умножать, делить (кроме деления на 0) рациональные числа, то в ответе получится рациональное число. 2. Арифметические операции над иррациональными числами, могут привести как к иррациональному числу, так и рациональному. 3. Если в арифметической операции участвуют как рациональные так и иррациональные числа, то в результате получится иррациональное число.