В реальной жизни часто встречается движение по окружности. Например в спорте: соревнования велосипедистов, которые проезжают определенный круг на время. - презентация

1

2

3 В реальной жизни часто встречается движение по окружности. Например в спорте: соревнования велосипедистов, которые проезжают определенный круг на время или соревнования гоночных автомобилей которым надо проехать наибольшее количество кругов за отведенное время.

4 Рассмотрим конкретный пример. Бегун бежит по кругу длиной 400 метров. Спортсмен стартует в точке А (рис. 1) и движется против часовой стрелки. Где он будет находится через 200 м, 800 м, 1500 м.? А где провести финишную черту если бегуну пробежать 4195 м.? Рисунок 1. Через 200 м. бегун будет находиться в точке С, так как он пробежит ровно половину дистанции. Пробежав 800 м., бегун сделает ровно два круга и окажется в точке А м. это 3 круга по 400 м (1200 м.) и еще 300 метров, то есть ¾ от беговой дорожки, финиш этой дистанции в точке D. Где будет находиться наш бегун пробежав 4195 м.? 10 кругов это 4000 метров, останется пробежать 195 метров, это на 5 метров меньше чем половина дистанции. Значит финиш будет в точки М, расположенной около точки С. Решение:

5 Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам. Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

6 1) Радиус окружности принимается за единицу измерения. 2) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка. Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка. Диаметры АС и BD делят окружность на четыре четвери: первая четверть – это дуга AB вторая четверть – дуга BC третья четверть – дуга CD четвертая четверть – дуга DA 3) Начальная точка числовой окружности – точка А. Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

7 Длина числовой окружности вычисляется по формуле: Так как единичная окружность то Если взять то длина окружности может быть выражена числом Длина каждой четверти равна

8 Основные точки на окружности и их имена представлены на рисунке: Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на три равные части и около каждой из полученных двенадцати точек записано число, которому она соответствует. Для числовой окружности верно следующее утверждение: Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида t+2π k, где k – целое число Важно! М(t) = M(t+2π k)

9 В единичной окружности дуга АВ разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р на три равные части. Чему равна длина дуги: AM, МВ, АК, КР, РB, АР, КМ? Длина дуги АВ = π/2, разделив ее на две равные части точкой М, получим две дуги, длиной π/4 каждая. Значит, AM = МВ = π/4 Дуга АВ разбита на три равные части точками К и Р, то длина каждой полученной части равна 1/3 · π/2, т. е. π/6 значит, АК = КР = РВ = π/6. Дуга АР состоит из двух дуг АК и КР длиной π/6. Значит, АР = 2 π/6 = π/3 Осталось вычислить длину дуги КМ. Эта дуга получается из дуги AM исключением дуги АК. Таким образом, КМ = AM – АК = π/4 - π/6 = π/12

10 Найти на числовой окружности точку которая соответствует заданному числу: 2π, 7π/2, π/4, -3π/2. Решение: Числу 2π соответствует точка А, т.к. пройдя по окружности путь длиной 2π, т.е. ровно одну окружность, мы опять попадем в точку А Числу 7π/2 соответствует точка D, т.к. 7π/2 = 2π +3π/2, т.е. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти целую окружность и дополнительно путь длиной 3π/2, который закончится в точке D Числу π/4 соответствует точка М, т.к. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти путь в половину дуги АВ длиной π/2, который закончится в точке M. Числу -3π/2 соответствует точка В, т.к. двигаясь в отрицательном направлении из точки А, нужно пройти путь длиной 3π/2, который закончится в точке В

11 Найти на числовой окружности точки а) 21π/4 б) -37π/6 Решение: Пользуясь формулой что число М(t) = M(t+2π k) (8 слайд) получим а) 21π/4 = (4+5/4)π = 4π + 5π/4 = 2 2π + 5π/4, значит числу 21π/4 соответствует такое же число что и числу 5/4π - середина третьей четверти. б) -37π/6 = -(6+1/6)π = -(6π + π/6) = -3 2π - π /6, значит числу -37π/6 соответствует такое же число что и числу - 1/6π, тоже самое что и 11π /6.

12 Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге: а) ВА б) МK Решение: а)Дуга ВА - это дуга с началом в точке В и концом в точке А при движении по окружности против часовой стрелки. Точка В соответственно равна π/2, а точка А равна 2π. Значит для точек t имеем: π/2 t 2π. Но согласно формуле на слайде 8 числам π/2 и 2π соответствуют числа вида π/2+2π k и 2π+2π k, соответственно. Тогда наше число t принимает значения: π/2 +2π k t 2π +2π k, где к – целое число б)Дуга МK - это дуга с началом в точке М и концом в точке К. Точка М соответственно равна -3π/4, а точка К равна π/4. Значит для точек t имеем: -3π/4 t π/4. Но согласно формуле на слайде 8 числам -3π/4 и π/4 соответствуют числа вида -3π/4+2π k и π/4+2π k, соответственно. Тогда наше число t принимает значения: -3π/4 +2π k t π/4 +2π k, где к – целое число

13 1)В единичной окружности дуга ВС разделена точкой Т на две равные части, а точками К и Р на три равные части. Чему равна длина дуги: ВТ, ТС, ВК, КР, РС, ВР, КТ? 2)Найти на числовой окружности точку которая соответствует заданному числу: π, 11π/2, 21π/4, -7π/2, 17π/6. 3)Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге: а) АВ б) АС в) PM, где P – середина дуги АВ, М - середина DA