Стр. 1 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа. - презентация

1 Стр. 1 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа

2 Стр. 2 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа СОДЕРЖАНИЕ Технология решения явным методом Шаг интегрирования при явном методе Сравнение явного и неявного методов решения Границы применимости явного метода интегрирования

3 Стр. 3 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа ТЕХНОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЯВНЫМ МЕТОДОМ Основы технологии Решение задачи в пространстве – методом конечных элементов и/или методом конечных объёмов Решение задачи во времени – явным методом интегрирования - большое количество небольших шагов по времени Использование в MSC.Dytran Решение задачи в пространстве Моделирование конструкции - решатель Лагранжа – метод конечных элементов Моделирование жидкости (газа) – решатель Эйлера – метод конечных объёмов Решение задачи во временной области – интегрирование по методу центральных разностей

4 Стр. 4 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа НЕЯВНЫЙ И ЯВНЫЙ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Неявный метод интегрирования M · a´ n+1 + C · v´ n+1 + K · d´ n+1 = F ext n+1 [M + C · · t + K · · t 2 ] · a´ n+1 = F ext n+1 - C · v* n - K · d* n F residial = F ext - F int a´ n+1 = [M*] -1 · F residial n+1 Явный метод интегрирования M · a n + C · v n + K · d n = F ext n a n = [M] -1 · F residial n

5 Стр. 5 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа ШАГ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПРИ ЯВНОМ И НЕЯВНОМ МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЯВНЫЙ МЕТОД Величина шага обычно определяется требованием устойчивости схемы интегрирования по методу центральных разностей Шаг интегрирования должен быть меньше самого малого периода собственных колебаний всех элементов сетки Моделирование быстроизменяющихся процессов не представляет проблемы НЕЯВНЫЙ МЕТОД Решение безусловно устойчиво, поэтому величина шага интегрирования определяется только требуемой точностью Шаг интегрирования должен быть меньше самого малого представляющего интерес периода собственных колебаний конструкции Моделирование быстроизменяющихся процессов (например, всплесков давления) может представлять проблему НЕЯВНЫЙ ШАГ ИНТЕГРИРОВАНИЯ >> ЯВНЫЙ ШАГ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Обычно неявный шаг интегрирования в раз больше явного шага интегрирования

6 Стр. 6 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа ШАГ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПРИ ЯВНОМ МЕТОДЕ Шаг интегрирования должен быть меньше самого малого периода собственных колебаний всех элементов сетки Шаг интегрирования, используемый MSC.Dytran должен быть меньше самого малого периода собственных колебаний всех элементов сетки. Представьте себе анализатор собственных колебаний, вычисляющий все моды КЭ модели. Шаг интегрирования должен быть меньше периода самого высокочастотного собственного колебания. Соответствующая мода колебаний – это колебание одного узла на жёсткости соседнего элемента. Условие устойчивости Куранта Поскольку невозможно на каждом шаге интегрирования выполнять анализ собственных колебаний, для обеспечения устойчивости решения используется критерий Куранта. Он основывается на учёте времени прохождения волны распространения напряжения через элементы. Это время зависит от характерного размера наименьшего элемента L: где c – скорость распространения звука в материале и S – масштабный фактор (<1), называемый также числом Куранта. Для элемента 1D:

7 Стр. 7 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа Явный метод ШАГ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Явный метод:-Малый шаг решения -Отсутствие больших матриц и необходимости их обращения -Матрицы диагональные -Надёжная процедура решения несмотря на высокую нелинейность Неявный метод:-Большой шаг решения -Необходимость обращения больших матриц -Усложнение процедуры решения при возрастании степени нелинейности задачи

8 Стр. 8 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАГА ИНТЕГРИРОВАНИЯ (ПРИМЕР) Рассмотрим призматическую консольную стальную балку ЯВНЫЙ МЕТОД Минимальный размер элемента L = 3,33 мм Скорость звука c = 5113 м/с Шаг интегрирования = 0,9 L/c = 0,586 мс НЕЯВНЫЙ МЕТОД Предположим, что интерес представляют три моды колебаний Частота = 3643 рад/с; период = 1725 мс Для точности решения примем шаг, равным 1/20 периода колебаний третьей моды Шаг интегрирования = 86,2 мс Шаг при неявном методе = 147 x шаг при явном методе

9 Стр. 9 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа ЯВНЫЕ методы эффективнее для решения задач, отличающихся: Короткой продолжительностью процесса Вычислительные затраты растут линейно с возрастанием длительности процесса, но даже для моделирования непродолжительных явлений требуется большое количество временных шагов Существенно нелинейным характером или большим количеством нелинейностей Вычислительные затраты не зависят от степени нелинейности задачи, в то время как при неявном методе с ростом степени нелинейности затраты времени на решение растут экспоненциально Большим размером Вычислительные затраты пропорциональны размерности задачи: время CPU увеличивается вдвое при удвоении количества элементов СРАВНЕНИЕ ЯВНОГО И НЕЯВНОГО МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

10 Стр. 10 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа Затраты (Количество решений матричных уравнений) Количество/Степень нелинейностей Затраты (Время CPU) Размерность задачи Затраты Продолжительность моделируемого процесса Неявный метод Явный метод Неявный метод Явный метод Неявный метод ЭФФЕКТИВНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НЕЯВНЫЙ И ЯВНЫЙ МЕТОДЫ

11 Стр. 11 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа НЕЛИНЕЙНЫЕ ФАКТОРЫ Большие перемещения Модель может быть подвержена большим перемещениям и вращениям. В MSC.Dytran нет понятия малое перемещение, но препятствий к выполнению моделирования малых перемещений нет Контакт и взаимодействие конструкция - жидкость Простое моделирование сложного взаимодействия между двумя или более телами Пластичность Большое количество моделей материалов (металлов, сплавов, пластиков, композитов и т.д.), обеспечивающих моделирование широкого спектра типов их поведения ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ЯВНОГО МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

12 Стр. 12 Часть 2 – Динамический анализ явным методом MSC.Dytran Seminar Notes Введение в использование метода Лагранжа Большие деформации Большинство типов элементов допускают учёт больших деформаций. Для оболочечных элементов допускается учёт изменения толщины при деформировании (растяжении) Разрушение Течение материала В случае очень больших деформаций может использоваться решатель Эйлера, учитывающий напряжения сдвига СУЩЕСТВЕННО ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ MSC.Dytran наиболее подходит для моделирования быстропротекающих явлений типа взрыва и высокоскоростного удара MSC.Dytran наиболее целесообразно применять для моделирования динамических явлений. Решение статических задачи с его помощью целесообразно только при наличии существенных нелинейностей ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ЯВНОГО МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ