Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число a n, то говорят, что задана числовая последовательность. - презентация

1

2 Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число a n, то говорят, что задана числовая последовательность

3 Числа a 1,a 2 …a n называются членами последовательности, а число a n называется общим членом или n-мы членом данной последовательности. Например: 1 2

4 Изобразим члены последовательности (2) точками на числовой оси. Можно заметить, что члены последовательности с ростом n сколь угодно близко приближаются к нулю.

5 Последовательность {a n } называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (m), что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству:

6 Последовательность {a n } называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу:

7 Последовательность (1) ограничена снизу, но не сверху. Последовательность (2) ограничена, т.к. все ее элементы находятся внутри промежутка [0,1]. Если выполняется условие то последовательность называется возрастающей. Если выполняется условие то последовательность называется убывающей. Последовательность (1) возрастающая. Последовательность (2) убывающая.

8 Число А называется пределом числовой последовательности {a n }, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такой номер N, что при всех n>N, выполняется неравенство:

9 Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае последовательность расходящаяся. Смысл определения предела числовой последовательности: Для достаточно больших номеров n члены последовательности очень мало отличаются от числа А (меньше, чем на число, ε, каким бы малмы оно не было).

10 ПРИМЕР. Дана последовательность Показать, что предел этой последовательности равен 1. 3

11 РЕШЕНИЕ: Пусть ε=0.1 Тогда неравенство примет вид:

12 Если ε=0.01, то неравенство выполняется при Для любого ε >0, неравенство выполняется при Т.е. для любого ε >0 существует номер Что для всех n>N, выполняется неравенство:

13 Рассмотрим геометрический смысл предела числовой последовательности. Для этого изобразим члены последовательности (3) точками на числовой оси.

14 Неравенство равносильно двойному неравенству которое соответствует попаданию членов последовательности в ε – окрестность точки А.

15 Т.е. число А есть предел числовой последовательности {a n }, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такой номер N, начиная с которого все члены последовательности будут заключены в ε – окрестности точки А, какой бы узкой она не была. Вне этой окрестности может быть только конечное число членов последовательности.