Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 14. Тема: Решение задач с использованием. - презентация

1 Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 14. Тема: Решение задач с использованием формулы полной вероятности и формулы Бейеса. Цель: Овладеть навыками решения задач по формулам полной вероятности и формуле Бейеса.

2 Формула полной вероятности Формула Бейеса P(Hi|A) = =

3 Задачи 1. В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта ? Решение: Пусть A - событие, состоящее в том, что взятая деталь окажется первого сорта, а H1, H2 и H3 - гипотезы, что она изготовлена соответственно на 1, 2 и 3 станке. Вероятности этих гипотез соответственно равны: далее, из условия задачи следует, что: Используя формулу полной вероятности, получим искомую вероятность

4 Задачи 2. В водоеме обнаружено загрязнение с превышением ПДК. Потенциальные источники - два предприятия, причем выбросы на первом происходят в 9 раз чаще, чем на втором. Только 15% сбросов первого предприятия превышают ПДК. Для второго предприятия эта вероятность равна 92% Кто виноват?! Решение:

5 3. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок с вероятностью Пуля попала в цель. Кто стрелял? Решение: Можно сделать два предположения: Рассмотрим событие : Известно, что : Поэтому вероятность пуле попасть в мишень Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в раз). Действительно, Задачи

6 Решение: Пусть A - событие, состоящее в том, что взятый шар окажется белым, а H 1, H 2, Н 3 - гипотезы, что шар был взят из 1-го, 2-го, 3-го ящика. Вероятности указанных гипотез равны: Из условия задачи следует, что: 4. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика. Задачи

7 Предпоследняя задача 5. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что второй студент взял «хороший» билет. Решение: А={второй студент взял «хороший» билет} H 1 ={первый взял «хороший» билет}, H 2 ={первый взял «плохой» билет}.

8 Последняя задача 6. Из 10 учеников, пришедших на экзамен, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно и один совсем не подготовился. В билетах 20 вопросов. Отличники могут ответить на все вопросы, хорошисты – на 16, троечники – на 10, а двоечники – на 5 вопросов. Каждый ученик получает 3 вопроса. Приглашенный первый ученик ответил на три вопроса. Какова вероятность, что он отличник? Решение: А={ученик ответил на три вопроса}, H 1 ={приглашенный ученик отличник}, H 2 ={ученик-хорошист}, H 3 ={ученик-троечник}, H 4 ={ученик-двоечник}.

9 Вопросы: Чему равна сумма вероятностей гипотез Н для события А? Чему равна сумма гипотез события А? i