Аналитическая геометрия Лекции 8,9. Прямая на плоскости. - презентация

1 Аналитическая геометрия Лекции 8,9

2 Прямая на плоскости

3 Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты и любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

4 Теорема. Всякое уравнение первой степени где А и В не обращаются в нуль одновременно, представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости

5 Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

6 Введем следующие понятия. Вектор, перпендикулярный прямой будем называть нормалью прямой и обозначать Итак,. Вектор, параллельный прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой. Обозначим его

7 Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси будем называть угловым коэффициентом этой прямой: ох у

8 Пусть точка лежит на прямой. Точка -произвольная точка прямой..

9 Тогда скалярное произведение

10 Получили уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору:

11 Общее уравнение прямой Из предыдущего уравнения легко получаем общее уравнение прямой

12 Каноническое уравнение прямой

13 Пусть и

14 Тогда из условия коллинеарности векторов и получаем каноническое, т. е. простейшее уравнение прямой:

15 Пример Написать уравнения прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно вектору. Первое уравнение и второе.

16 Уравнение прямой, проходящей через две точки

17 Пусть

18 Координаты этих векторов пропорциональны: Получили уравнение прямой, проходящей через две точки.

19 Параметрические уравнения прямой Приравняем обе части соотношения к t. Получим параметрические уравнения прямой

20 Уравнение прямой с угловым коэффициентом Преобразуем уравнение к виду

21 Обозначив, где, получим

22 Уравнение прямой,проходящей через точку Пусть точка лежит на прямой. Тогда Вычтем из первого второе соотношение. Получим

23 Уравнение прямой в отрезках

24 Взаимное расположение прямых

25 Угол между двумя прямыми Пусть две прямые заданы общими уравнениями

26 Тогда угол между этими прямыми равен углу между их нормалями, т. е.

27 Пусть даны прямые

28 Тогда

29 Условия параллельности Прямые параллельны тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий ( в зависимости от вида уравнений прямых).

30 Условие перпендикулярности

31 Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой находят по формуле.

32 Пример Найти уравнение прямой, проходящей через точки и.