Основы теории управления Кафедра ИСКТ Кривошеев В.П. Введение в теорию управления. - презентация

1 Основы теории управления Кафедра ИСКТ Кривошеев В.П. Введение в теорию управления

2 План лекций 2 Основные понятия теории управления Математическое описание элементов системы управления Способ математического описания в переменных состояния Преобразование Лапласа

3 3 Теория управления направлена на решение задач анализа и синтеза систем управления. Она применима к решению указанных задач в технике, биологии, социологии и др Основные понятия теории управления

4 4 Управление есть специально организованное воздействие на объект управления с целью получения желаемого результата Технологический аппарат, техническое устройство, производственный участок, производство и т.д., в которых протекает управляемый технологический процесс или управляемый процесс преобразования информации, носит название объекта управления Устройство или средство, вырабатывающее управляющий сиг­нал на объект управления, называется управляющим устройством, или средством управления. Основные понятия теории управления

5 5 В общем случае систему управления можно представить следующим образом Рис. 1. Структурная схема системы управления Основные понятия теории управления

6 6 Алгоритм функционирования устройства (системы) – это совокупность предписаний, ведущих к правильному выполнению технологического процесса в каком-либо устройстве или в совокупности устройств (системе). Алгоритм функционирования управляющего устройства есть алгоритм управления. Он является совокупностью предписаний, определяющих характер воздействия на объект управления с целью осуществления его алгоритма функционирования Основные понятия теории управления

7 7 В качестве примера управления одной управляемой величиной рассмотрим систему стабилизации напряжения генератора постоянного тока Рис. 2. Система управления напряжением генератора постоянного тока Основные понятия теории управления

8 8 От постоянного источника питания формируется заданное Uо напряжение. На вход делителя Y поступает сигнал, равный величине разности между заданным значением Uо и значением падения напряжения на резисторе R2 (сигнал рассогласования U) Основные понятия теории управления

9 9 В зависимости от знака U реверсивный двигатель изменяет сопротивление R в цепи возбуждения генератора, изменяя величину силы тока i e Основные понятия теории управления

10 10 Приведем структурную схему рассмотренной системы Рис. 3. Структурная схема системы управления напряжением генератора постоянного тока Основные понятия теории управления

11 11 При управлении реализуются два основных принципа: принцип управления по отклонению или управления по обратной связи принцип управления по возмущению Основные понятия теории управления

12 12 При управлении по отклонению управляющее устройство изменяет управляющее воздействие при отклонении управляемой координаты от заданного значения независимо от причин, вызвавших это отклонение. Системы управления, построенные по этому принципу, являются замкнутыми Рис. 4. Структурная схема системы управления с обратной связью Основные понятия теории управления

13 13 При управлении по возмущению управляющее воздействие вырабатывается управляющим устройством в зависимости от величины возмущения. Системы управления по возмущению являются разомкнутыми системами, так как в них отсутствует обратная связь Рис. 5. Структурная схема системы управления по возмущению Основные понятия теории управления

14 14 Наиболее эффективными системами управления являются комбинированные системы управления, сочетающие оба рассмотренные выше принципа. В таких системах основное, наиболее сильное, измеряемое возмущение компенсируется специальным управляющим устройством, а устранение отклонения управляемой величины, вызванного другими неизмеряемыми возмущающими воздействиями, осуществляется контуром управления с обратной связью Основные понятия теории управления

15 15 Рис. 6. Структурная схема комбинированной системы управления Основные понятия теории управления

16 16 В зависимости от способа формирования сигнала задания различают три типа систем управления: системы стабилизации, в которых Yзад = const; системы программного управления, в которых задание регулятору изменяется во времени по заранее заданной программе; следящие системы, в которых задание управляющему устройству изменяется в зависимости от какого либо другого параметра, то есть управляемая координата «следит» за изменением этого параметра Основные понятия теории управления

17 17 Основные задачи теории управления определение устойчивости и качества системы управления при закрепленной структуре и зафиксированных значениях настроечных параметров системы, т.е. анализ системы управления выбор такой структуры и таких значений настроечных параметров, при которых система управления удовлетворяет заданным требованиям по устойчивости и качеству управления представляет собой синтез системы управления Основные понятия теории управления

18 18 Наиболее распространенной формой описания передаточных свойств систем управления и их элементов являются обыкновенные дифференциальные уравнения Для элемента, имеющего один входной X(t) и один выходной Y(t) сигнал, обыкновенное дифференциальное уравнение записывается в общем случае следующим образом: (1) Уравнение (1) называют уравнением динамики или уравнением движения элемента. Математическое описание элементов системы управления

19 19 Если переменная Y, характеризующая состояние элемента, кроме времени зависит еще от другой независимой переменной, которая является пространственной координатой, то элемент описывается дифференциальным уравнением с частными производными. Сам элемент в этом случае называют элементом с распределенными параметрами (распределенными в пространстве). Большинство объектов управления представляют собой объекты с распределенными параметрами, но при практических расчетах с большей или меньшей степенью приближения их рассматривают как элементы с сосредоточенными параметрами Математическое описание элементов системы управления

20 20 Математическое описание передаточных свойств любых линейных многомерных элементов может быть осуществлено в двух различных видах: при помощи динамических характеристик (дифференциаль­ных уравнений, временных, передаточных и частотных функций), записанных для реальных входных и выходных переменных (ВВ) при помощи дифференциальных уравнений в форме Коши, записанных для абстрактных выходных переменных, или переменных состояния (ПС) Математическое описание элементов системы управления

21 21 Способ описания вход – выход Пусть имеется многомерный элемент с m входными переменными Рис. 7. Многомерный элемент с n измеряемыми (наблюдаемыми) выходными переменными Математическое описание элементов системы управления

22 22 Способ описания вход – выход Если взаимосвязи по всем каналам линейны или линеаризованы, то в общем случае элемент можно описать следующей системой n неоднородных дифференциальных уравнений (2) Заметим, что совпадение наивысшего порядка m производной с числом входных переменных является условным Математическое описание элементов системы управления

23 23 Способ описания вход – выход Удобной формой записи линейных дифференциальных уравнений является символическая или операторная. Переход к этой форме осуществляется введением сокращенного условного обозначения операции дифференцирования: Соответственно k-ю производную переменной, например, обозначают: (3) Математическое описание элементов системы управления

24 24 Способ описания вход – выход Тогда уравнение (2) в символической форме будет иметь вид: (4) Многочлены от Р степени n и m, находящиеся в левой и правой частях уравнения (4), называются дифференциальными операторами Математическое описание элементов системы управления

25 25 Способ описания вход – выход Многочлен (5) называется собственным оператором, а многочлен (6) называется входным оператором воздействия Математическое описание элементов системы управления

26 26 Способ описания вход – выход Запишем уравнение (2) в символической форме с учетом операторов (5 и 6):, (e = 1,...,n). (7) Систему (7) можно записать более компактно в виде векторного дифференциального уравнения D(p)Y(t)=K(p)X(t), гдеY(t) и X(t) – векторы соответственно выходных и входных переменных, а D(p) и K(p) – матрицы операторов и – матрицы операторов; и, имеющие размерности соответственно (n n) и (n m). Математическое описание элементов системы управления

27 27 Способ описания вход – выход Заметим, что в рассматриваемом случае, когда нет связи между выходными переменными, матрица диагональная, то есть имеем (9) Пусть Y(t) и X(t) имеют нулевые начальные условия, то есть (10) Математическое описание элементов системы управления

28 28 Математическая модель объекта представляется в виде двух уравнений – уравнения состояния и уравнения выхода. Уравнение состояния линейного объекта отражает его динамические свойства и записывается в виде векторного дифференциального уравнения в форме Коши. Способ математического описания в переменных состояния

29 29 Уравнение состояния: (11) где – переменные состояния; – параметры управления (управляющие входные переменные); – возмущающие воздействия в виде помех Способ математического описания в переменных состояния

30 30 Матричная форма: (12) где, Способ математического описания в переменных состояния

31 31 Для одномерного объекта n-го порядка переменными состояния могут служить выходной сигнал и его производные до n-1 включительно. Однако в общем случае переменные состояния могут и не иметь конкретного физического смысла – они будут формальными, абстрактными переменными, лишь удовлетворяющими уравнениям состояния. Способ математического описания в переменных состояния

32 32 N-мерное пространство, координатами которого служат переменные состояния, называют пространством состояния, а рассматриваемый способ описания – соответственно методом пространства состояний. Способ математического описания в переменных состояния

33 33 Уравнения выхода (13) Или в векторно – матричной форме (14) Заметим, что в символьном виде Способ математического описания в переменных состояния

34 34 Теперь составим модель динамического объекта, описываемого уравнением (14) с учетом уравнения (12) Рис. 8. Модель динамического объекта, описываемого уравнениями в пространстве состояний Способ математического описания в переменных состояния

35 35 Выразим X из уравнения (12) (15) и подставим в уравнение (14): (16) Способ математического описания в переменных состояния

36 36 ПРИМЕР. Объект описывается передаточной функцией (1) Пусть Способ математического описания в переменных состояния

37 37 ПРИМЕР. Запишем дифференциальное уравнение (2) Заметим, что соответствуетили Перепишем (2) в операторной форме (3): Способ математического описания в переменных состояния

38 38 ПРИМЕР. Далее (3) представим в виде (4): где – абстрактная переменная. Способ математического описания в переменных состояния

39 39 ПРИМЕР. Теперь (4) перепишем в виде двух уравнений: (5) (6) Способ математического описания в переменных состояния

40 40 ПРИМЕР. Введем обозначения: Тогда (7) Способ математического описания в переменных состояния

41 41 ПРИМЕР. Теперь уравнения (5) и (6) перепишем с учетом этих обозначений: (8) Отсюда выразим: (9) Способ математического описания в переменных состояния

42 42 ПРИМЕР. Заметим, что с учетом (7) и (9) вектор производных будет иметь вид: Способ математического описания в переменных состояния

43 43 ПРИМЕР. Причем его составляющие: (10) Способ математического описания в переменных состояния

44 44 ПРИМЕР. Представим в форме (10): Способ математического описания в переменных состояния

45 45 ПРИМЕР. или (11) Способ математического описания в переменных состояния

46 46 ПРИМЕР. Уравнение (5) запишем в форме с учетом : (12) Способ математического описания в переменных состояния

47 47 ПРИМЕР. Или в форме : (13) Способ математического описания в переменных состояния

48 48 ПРИМЕР. Таким образом: Способ математического описания в переменных состояния

49 49 ПРИМЕР. Составим модель данного объекта в соответствии с уравнениями (11) и (13) с учетом (7) Способ математического описания в переменных состояния

50 50 Преобразованной по Лапласу функцией называется функция комплексного переменного, определяемая выражением: (17) где – исходная функция действительного переменного t, называемая оригиналом; S – комплексная переменная, - действительные переменные; Функция называется изображением по Лапласу функции Преобразование Лапласа

51 51 Преобразование по Лапласу в символьной форме записывается как Обратный переход от изображения к оригиналу осуществляется по формуле: (17) где С – абсцисса сходимости функции y(t) Преобразование Лапласа

52 52 ПРИМЕР 1. Разрывная функция, представляющая собой единичный ступенчатый сигнал (рис. 1): Рис. 1. Разрывная функция Преобразование Лапласа

53 53 ПРИМЕР 1. Найдем ее изображение: Первое слагаемое равно нулю, т.к. подынтегральная функция на интервале интегрирования равна нулю. После подстановки во второе слагаемое y(t)=1, получим: (1) Заметим, что при Преобразование Лапласа

54 54 ПРИМЕР 2. Разрывная функция, представляющая дельта – функцию y(t) (рис. 2): при при Рис. 10. Дельта-функция Преобразование Лапласа

55 55 ПРИМЕР 2. есть такая функция, для которой имеет место равенство (1) Дифференцируя обе части, получим Преобразование Лапласа

56 56 ПРИМЕР 2. Найдем изображение дельта-функции: Введя обозначения Преобразование Лапласа

57 57 ПРИМЕР 2. и интегрируя по частям: имеем (2) Преобразование Лапласа

58 58 ПРИМЕР 2. Трансцендентная функция (рис. 1) Рис. 1. Трансцендентная функция Преобразование Лапласа

59 59 ПРИМЕР 2. Найдем изображение (3) Дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на S. Действительно: Преобразование Лапласа

60 60 ПРИМЕР 2. Введем обозначения Интегрируем по частям: Тогда Преобразование Лапласа

61 61 ПРИМЕР 2. Так как а интеграл во втором слагаемом есть y(S), получим При нулевых начальных условиях y(0)=0 имеем: (4) Преобразование Лапласа

62 62 ПРИМЕР 2. Интегрированию оригинала соответствует деление изображения на S. Действительно: Введем обозначения: Преобразование Лапласа

63 63 ПРИМЕР 2. Интегрируем по частям: Преобразование Лапласа

64 64 ПРИМЕР 2. После подстановки пределов интегрирования в первое слагаемое получим т.к. для большинства функций Преобразование Лапласа

65 65 ПРИМЕР 2. Во втором слагаемом интеграл есть y(s). Окончательно получим: Преобразование Лапласа

66 Контрольные вопросы 66 В чём сущность способа математического описания в переменных состояния? Какова форма представления уравнений состояний? Какова форма представления уравнений выхода? Можно ли называть пространство состояний фазовым пространством? С какой целью используется преобразование по Лапласу при математическом описании элементов системы и самой системы управления?

67 Рекомендуемая литература Кривошеев В.П. Основы теории управления: Конспект лекций. Часть 1. – Владивосток: Изд-во ВГУЭиС, – 112 с.

68 68 Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.