1 КОСВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА. КОРНЕВЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ. СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ. СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ. ПОНЯТИЯ О РАСШИРЕННЫХ АФХ. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА. - презентация

1 1 КОСВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА. КОРНЕВЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ. СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ. СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ. ПОНЯТИЯ О РАСШИРЕННЫХ АФХ. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА ПОКАЗАТЕЛЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА Кафедра ИСКТ Кривошеев В.П.

2 План лекции 2 Корневые оценки качества Степень устойчивости Связь степени устойчивости с быстродействием Степень колебательности Частотные критерии качества Линейные интегральные оценки Квадратичные интегральные оценки Обобщённые квадратичные оценки

3 Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности. 3 Для оценки качества переходного процесса чаще всего используют косвенные критерии, которые вычисляются относительно легко и которые связаны с определёнными характеристиками переходного процесса. К ним относятся: критерий распределения корней (корневые оценки); частотные критерии; интегральные критерии. Корневые оценки качества: степень устойчивости и степень колебательности.

4 4 Степень устойчивости Степень устойчивости численно равна абсолютному значению действительной части ближайшего к мнимой оси корня (Рис. 1). Система обладает достаточным запасом устойчивости, если достаточно велико. Запишем уравнение переходного процесса (дви­жения системы): Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности.

5 5 Степень устойчивости Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности. Рис. 1. К определению степени устойчивости

6 6 Степень устойчивости Если то где Степень устойчивости характеризует интенсивность затухания переходного процесса (Рис. 2) Наименьшему по абсолютной величине корню соответствует наиболее медленно затухающая составляющая переходного процесса. Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности.

7 7 Степень устойчивости Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности. Рис. 2. Интерпретация степени устойчивости

8 8 Связь степени устойчивости с быстродействием Пусть за время t p составляющая переходного процесса от значения h 1 (0)=C 1 уменьшилась в m раз (Рис. 3) Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности. Увеличению времени t p при m=const соответствует уменьшение. Чем больше, тем быстрее затухает процесс.

9 9 Связь степени устойчивости с быстродействием Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности. Рис. 3. К связи степени устойчивости с быстродействием

10 10 Степень колебательности Степенью колебательности (Рис. 4) называется отношение Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности. Чем больше m, тем быстрее затухает колебательный процесс. Степень колебательности характеризует запас устойчивости системы. Если на систему накладывается требование, то это означает, что все корни характеристического уравнения системы должны находиться внутри заштрихованного сектора.

11 11 Степень колебательности Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности. Рис. 4. К определению степени колебательности

12 12 Степень колебательности Для системы второго порядка с двумя комплексными сопряженными корнями уравнение движения Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности. Найдём связь степени колебательности и степени затухания. В выражение степени затухания подставим:

13 13 Степень колебательности Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности.

14 14 Степень колебательности Заметим, что для систем более высокого (>2) порядка соотношение является приближённым. Степень его достоверности повышается в тех случаях, когда пара комплексных сопряжённых корней, определяющая m, имеет вещественную часть, значительно отличающуюся от вещественной части остальных корней. При решении задач параметрического синтеза системы управления могут иметь место требования: или Косвенные показатели качества. Корневые показатели. Степень устойчивости. Степень колебательности.

15 15 Понятие о расширенной АФХ Рассмотренные ранее [1] АФХ получали из передаточной функции заменой. представляет собой отображение мнимой оси комплексной плоскости корней характеристического уравнения на комплексную плоскость Отобразим на плоскости луч, определяющий степень колебательности m = m з. Уравнение этого луча: где текущие значение мнимой составляющей корня. Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества.

16 16 Понятие о расширенной АФХ Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Полученная АФХ называется расширенной АФХ (РАФХ). Таким образом, обычная АФХ представляет собой отображение границы устойчивости, а РАФХ представляет собой отображение линии m = m з, лежащей в левой полуплоскости корней характеристического уравнения.

17 17 Понятие о расширенной АФХ Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Для выбора параметров системы можно воспользоваться критерием устойчивости Найквиста. Например, для выполнения условия. параметры системы изменяют таким образом, чтобы РАФХ при прошла через точку с координатами (-1, j0). Для выполнения условия на плоскости АФХ отображается линия: и подбираются параметры системы таким образом, чтобы РАФХ разомкнутой системы прошла через точку с координатами.

18 18 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. К частотным критериям относятся запас устойчивости по модулю и запас устойчивости по фазе, а также показатель колебательности. Показатель колебательности М это отношение максимального значения амплитуды АФХ замкнутой системы по каналу задающего воздействия к её значению при =0: М=А max /A 0.

19 19 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Рис. 5. К определению показателя колебательности

20 20 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. АФХ замкнутой системы по каналу задающего воздействия: Её амплитуда А зс = ОВ/АВ. Её фаза:

21 21 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Рис. 6 а. Связь между А зс ( ) и удалением W pc (j ) от точки (-1, j )

22 22 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Рис. 6 б. Связь между А зс ( ) и удалением W pc (j ) от точки (-1, j )

23 23 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Рис. 6 с. Связь между А зс ( ) и удалением W pc (j ) от точки (-1, j )

24 24 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Во всех случаях для астатической системы. В случае, когда АС велико (Рис. 6 а) А зс монотонно убывает. При уменьшении АС возникает экстремальная точка. Максимум А зс при этом возрастает (Рис. 6 б), и при АС = 0 А зс имеет разрыв в (Рис. 6 с). Следовательно, чем меньше запас устойчивости, тем больше максимальное значение А зс и тем больше. Если система не имеет астатических звеньев (статическая система),то. С достаточной для практических расчётов точностью при К рс >>1 можно принять. (Рис. 7).

25 25 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Рис. 7. АФХ разомкнутой статической системы

26 26 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Существуют приёмы, которые позволяют по виду АФХ разомкнутой САР определить показатель колебательности. Для каждой точки W pc (j ) можно сказать, каков модуль АФХ замкнутой системы. Найдём геометрическое место точек на плоскости Wpc(j ), таких, что модуль АФХ замкнутой системы имеет заданное постоянное значение А зс =М з.

27 27 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Из отношения ОВ/АВ имеем: Или Преобразуем к виду:

28 28 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Получим: Введём обозначения: Таким образом, геометрическим местом точек равного значения (M=const) является окружность (Рис. 8), радиус которой R=M/(M 2 -1), a центр окружности находится на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии а=M 2 /(M 2 -1) от начала координат.

29 29 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Рис. 8. Линия постоянного значения М

30 30 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Нанесём ряд окружностей M=const (Рис. 9), то есть построим круговую диаграмму. Для М=2 имеем R=2/3; a=4/3. Для М=1,5 имеем R=1,2; a=1,8. Для М=1 имеем R= ; a=.

31 31 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Рис. 9. Круговая диаграмма для M=const

32 32 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Построение на круговой диаграмме АФХ разомкнутой системы. Максимальное значение Азс будет в точке касания АФХ разомкнутой системы с линией M=const. Из круговой диаграммы можно построить (Рис.10).

33 33 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Рис.10. Построение из круговой диаграммы

34 34 Частотные критерии качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Если ставится задача определения параметров системы, обеспечивающих М=М з, то нужно провести линию М=М з =const и подбирать параметры системы так, чтобы АФХ разомкнутой системы коснулась линии. Показатель колебательности связан с запасом устойчивости по модулю и по фазе. Эта связь определяется следующими соотношениями

35 35 Интегральные оценки качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Интегральные оценки представляют собой определённые интегралы (в пределах от 0 до ) от функций времени x(t), характеризующих течение переходных процессов в системе. Функция x(t)=y(t)-y( ) есть переходная составляющая ошибки (Рис. 11).

36 36 Интегральные оценки качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Рис. 11. Переходные процессы

37 37 Интегральные оценки качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Метод интегральных оценок относится к аналитическим. Качество процессов характеризуется интегралами, величины которых связаны с параметрами системы. Находят применение: а) линейные интегральные оценки:

38 38 Интегральные оценки качества Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. б) квадратичные интегральные оценки: в) обобщённые квадратичные оценки: гдеV(t) квадратичная форма от координат

39 39 Линейные интегральные оценки Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Чем меньше J 1,0, тем лучше переходный процесс. Вычислить J 1,m несложно, но его применение ограничено лишь монотонными процессами. Если процесс колебательный, то J 1, m не характеризует переходный процесс. В этом случае вводят новую оценку. Поскольку её вычисление возможно лишь при известном переходном процессе и к тому же достаточно трудоёмко, то она не получила широкого применения.

40 40 Квадратичные интегральные оценки Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Наиболее распространёнными интегральными оценками являются квадратичные оценки (Рис. 12) вида Рис. 12. Интерпретация квадратичной интегральной оценки вида

41 41 Обобщённые квадратичные оценки Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Квадратичная оценка второго вида относится к простейшему случаю обобщённой оценки. Физический смысл её состоит в следующем. Считают хорошим процесс, у которого не только мал, но и скорость (производная) должна быть невелика, то есть процесс должен быть не только быстрее, но и плавнее.

42 42 Обобщённые квадратичные оценки Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. Интеграл представим в виде Минимальное значение достигается при и Решая дифференциальное уравнение получим p=-1/ ; x(t)=x(0)*exp(-t/ ).

43 43 Обобщённые квадратичные оценки Понятие о расширенной АФХ. Частотный критерий качества – показатель колебательности. Интегральные критерии качества. J минимизируют следующим образом. Значение подбирают так, чтобы экспонента x(t)=x(0)*exp(-t/ ) удовлетворяла с определённым запасом условиям качества переходного процесса. Затем выбирают параметры системы так, чтобы избранная интегральная оценка имела наименьшее значение.

44 Контрольные вопросы Какие оценки качества переходного процесса относятся к корневым? 2. Что характеризует степень устойчивости? 3. Что характеризует степень колебательности? 4. В чем отличие расширенных АФХ от обычных? 5. Как влияет приближение АФХ разомкнутой системы к точке с координатами (-1,j0) на величину показателя колебательности? 6. Какова связь степени колебательности со степенью затухания?

45 Контрольные вопросы Какова связь показателя колебательности с запасом устойчивости по модулю и по фазе? 2. Какую информацию о системе управления нужно иметь для вычисления интегральных оценок? 3. Какова связь квадратичной интегральной оценки управляемой переменной с модулем ее спектра?

46 Рекомендуемая литература Кривошеев В.П. Основы теории управления: Конспект лекций. Часть 2. Владивосток: Изд-во ВГУЭиС, – 83 с. 2. Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, – 416 с.

47 47 Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.