СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ (9 класс) Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики. - презентация

1 СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ (9 класс) Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми Корткеросского района Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной Мишариной Альбиной Геннадьевной

2 Содержание Схема исследования функций Постоянная функция (у = с) Линейная функция (у = kх+в) Квадратичная функция (у =k·х²) Функция обратной пропорциональности ( у = k/х) Функция корня (у = х) Функция модуля (у = |х|) Функция (у = ах² + вх + с) Другие функции

3 Схема исследования функций Область определения D(f). Множество значений Е(f) Нули функции ( у=0) Интервалы знакопостоянства (у>0 ; у <0) Промежутки монотонности (возрастания, убывания) Набольшее и наименьшее значения функции Ограниченность функции Непрерывность функции Выпуклость функции Четность функции

4 СВОЙСТВА: 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции:

5 Постоянная функция У=С у =С СВОЙСТВА: 1) D(f)=R 2) Е(f)= множество, состоящее из единственного числа С 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: не определена 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: четная 0 х у С

6 Графиком функции является прямая и Если к>0 Если к<0 СВОЙСТВА: 1) D(f)= R 2) Е(f)= R 3) Нули функции: у=0 при х = х 1 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є… (для каждого графика свое) у < 0 при х Є… (для каждого графика свое) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при к > 0 У убывает при к < 0 6) У наиб.= нет У наим. = нет 7) Ограниченность функции: не ограничена 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: (нет смысла) 10) Четность функции: (нет смысла) у=кх+в х у в 0 х у В О х 1 х 1 х 1 х 1

7 у =k·х² Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат и если к>0, если к>0, то: СВОЙСТВА: 1) D(f)= R или (- ; + ) 2) Е(f)=[0; + ) 3) Нули функции: у=0 при х=0 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є ( - ;0 )U(0; + ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є [0; + ) У убывает при х Є (- ; 0 ] 6) У наиб. - нет У наим. = 0 7) Ограниченность функции: ограничена снизу 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: выпукла вниз 10) Четность функции: четная 0Х У У=КХ²

8 у =k·х² Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат и если к < 0, если к < 0, то:СВОЙСТВА: 1) D(f)= R или (- ; + ) 2) Е(f)=( - ;0 ] 3) Нули функции: у=0 при х=0 4) Интервалы знакопостоянства: у < 0 при х Є ( - ;0 )U(0; + ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є (- ; 0 ] У убывает при х Є [0; + ) 6) У наиб.= 0 У наим. – не сущ. 7) Ограниченность функции: ограничена сверху 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: выпукла вверх 10) Четность функции: четная 0 Х У У=КХ²

9 у = k/х Графиком функции является гипербола если к>0, и если к>0, то :СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;0)U(0;+ ) 2) Е(f)= (- ;0)U(0;+ ) 3) Нули функции: нет 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (0;+ ) у < 0 при х Є (- ;0) 5) Промежутки монотонности: У убывает при х Є (- ;0) и (0;+ ) 6) У наиб.= не сущ. У наим. = не сущ. 7) Ограниченность функции: не ограничена ни снизу, ни сверху 8) Непрерывность функции: непрерывна на открытом луче (- ;0), и на открытом луче (0;+ ) 9) Выпуклость функции: выпукла вниз при x>0, выпукла вверх при x<0 10) Четность функции: нечётная Х у 0 У=К/Х

10 у = k/х Графиком функции является гипербола если к<0, и если к<0, то: СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;0)U(0;+ ) 2) Е(f)= (- ;0)U(0;+ ) 3) Нули функции: не сущ. 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (- ;0) у < 0 при х Є (0;+ ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є(- ;0), и (0;+ ) 6) У наиб.= не сущ. У наим. = не сущ. 7) Ограниченность функции: Не ограничена ни снизу, ни сверху 8) Непрерывность функции: Непрерывна на открытом луче (- ;0), и на открытом луче (0;+ ) 9) Выпуклость функции: Выпукла вверх при x>0, выпукла вниз при x<0 10) Четность функции: нечетная Х У 0 У=К/Х

11 у = х графиком функции является ветвь параболы в первой четверти СВОЙСТВА: 1) D(f)= [0;+ ) 2) Е(f)= [0;+ ) 3) Нули функции: у=0 при х=0 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (0;+ ) у < 0 при х Є - не существует 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є [0;+ ) У убывает при х Є – не существует 6) У наиб.= не сущ. У наим. = 0 7) Ограниченность функции: Ограничена снизу, не ограничена сверху 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: Выпукла вверх 10) Четность функции: Не является ни четной, ни нечетной Х У У=Х

12 Графиком функции является объединение двух лучей: у=х, х 0 и у=-х, х 0. СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;+ ) 2) Е(f)= [0;+ ) 3) Нули функции: у=0 при х=0 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (- ; 0)U(0;+ ) у < 0 при х Є – не существует 5) Промежутки монотонности: У возрастает на луче [0;+ ) У убывает на луче (- ;0], 6) У наиб.= не сущ. У наим. = 0 7) Ограниченность функции: Ограничена снизу, не ограничена сверху 8) Непрерывность функции: Непрерывна 9) Выпуклость функции: можно считать выпуклой вниз 10) Четность функции: Чётная y = |x|y = |x| Х У 0 У =|х|

13 Функция у = ах² + вх + с Графиком функции является парабола с вершиной в точке (х 0; у 0) и если а>0, то: СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;+ ) 2) Е(f)= [y 0 ;+ ) 3) Нули функции: у=0 при х=х 1 и х=х 2 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (- ; х 1 ) U (х 2 ;+ ) у < 0 при х Є (х 1 ; х 2 ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є [х 0 ; + ) У убывает при х Є (- ; х 0 ] 6) У наиб.= не сущ. У наим. = у 0 7) Ограниченность функции: ограничена снизу и не ограничена сверху 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: Выпукла вниз 10) Четность функции: не определена Х у 0 Х 0 =-в/2 а у 0 у 0 У = ах²+вх+с Х1Х1 Х2Х2

14 Функция у = ах² + вх + с Графиком функции является парабола с вершиной в точке (х 0; у 0) и если а<0, то: СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;+ ) 2) Е(f)= (- ; y0] 3) Нули функции: у=0 при х=х 1 и х=х 2 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (х 1; х 2) у < 0 при х Є (- ; х 1) U (х 2;+ ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є (- ; х 0 ] У убывает при х Є [х 0; + ) 6) У наиб.= у 0 У наим. = не сущ. 7) Ограниченность функции: Ограничена сверху, не ограничена снизу 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: выпукла вверх 10) Четность функции: не определена Х у 0 у 0 у 0 Х0Х0 У = ах²+вх+с Х 1 Х2Х2

15 Функция у = - х графиком функции является ветвь параболы. СВОЙСТВА: 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: у Х

16 Функция у = - |х| Графиком функции является объединение двух лучейСВОЙСТВА: 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: Х у 0 У = -|х|

17 Прочитать график функции- это значит перечислить свойства функции 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: 0 х у -4 3

18 Прочитать график функции- это значит перечислить свойства функции 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: у х 1 1

19 Прочитать график функции- это значит перечислить свойства функции 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: 1 1 х у

20 Использованные ресурсы А.Г. Мордкович, Алгебра 9 класс, М., Мнемозина, 2007 А.Н. Рурукин и др., Поурочные разработки по алгебре 9 класс, М., Вако, 2011