Тренировочные упражнения экзаменационной работы ПО АЛГЕБРЕ для 9 класса в форме ГИА. - презентация

1 Тренировочные упражнения экзаменационной работы ПО АЛГЕБРЕ для 9 класса в форме ГИА.

2

3 1) 0,07; 0,105; 0,0157 2) 0,0157; 0,105; 0,07 3) 0,105; 0,07; 0,0157 4) 0,0157; 0,07; 0,105 1) 0,0216; 0,016; 0,12 2) 0,016; 0,0216; 0,12 3) 0,12; 0,0216; 0,016 4) 0,12; 0,016; 0, Расположите в порядке возрастания числа 0,0157; 0,105; 0, Расположите в порядке убывания числа 0,0216; 0,12; 0,016.

4 [0,1; 0,2] [0,2; 0,3] [0,3; 0,4] [0,4; 0,5] [0,6; 0,7] [0,5;0,6] [0,7; 0,8] [0,8; 0,9] 1.3 а. Какому из данных промежутко в принадлежи т число 1.3 б. Какому из данных промежутко в принадлежи т число

5

6 Подумай Верно Подума й 1234 Все эти числа 2.1 Какое из данных чисел является иррациональным?

7 Подумай Верно Подума й 1234 Все эти числа 2.2 Какое из данных чисел является иррациональным?

8 8 7 9 AB C D Подумай Верно Подумай 1234 Точка AТочка BТочка CТочка D 2.3 Одна из точек, отмеченных на координатной прямой соответствует числу.Какая это точка?

9 2.4. В деревне Дубровка живет 72 человека, а ее площадь 9 км 2. Каково среднее количество жителей этой деревни на 1 км 2 ? Ответ: 2.5. В деревне Дубровка живет 72 человека, а ее площадь 9 км 2. Какая площадь приходится в среднем на одного жителя этой деревни? Ответ дайте в квадратных километрах и округлите до десятых долей. Ответ: 2.6. Чему равно :10 8 ? Ответ: Чему равно 10 6 :10 9 ? Ответ: 2.8. Какое из перечисленных чисел ближе к 2,7:0,14 ? 1) 1,922) 19,23) 0,054) 0,5 72 : 9= 8 чел. 9 :72 0,1 км 2. 0,001

10 2.9. Население Австрии составляет 8, человек. Чему равно население Австрии в миллионах человек? Ответ: 8, = 8, = 8, Какое из перечисленных чисел ближе к 1,610 9 : (8,310 7 ) ? 1) 1,922) 51,83) 19,24) 5,18 1, : (8, ) =(1,6 : 8,3 )(10 9 : 10 7 ) 0, =19,2

11 2.11. Найдите частное. Ответ запишите в десятичной дроби. 1, =1, =0,012 0, =0, = = =0,19 0, =0, = = =1,1

12

13 1. Завод за год выпустил4, одинаковых бутылок с водой, при этом воды в них было 2, л. Каков объем каждой бутылки в литрах? 1. Завод за год выпустил 2, одинаковых бутылок с водой, при этом воды в них было 1, л. Каков объем каждой бутылки в литрах? 1 5 л 2 0,2 л 3 2 л 4 0,5 л 1 5 л 2 0,2 л 3 2 л 4 0,5 л Верно Подумай Верно Подумай 1,310 9 :(2,610 9 )= (1,3 : 2,6 ) (10 9 : 10 9 )= = 0,5 2, :(4,710 9 )= (1,3 : 2,6 ) (10 9 : 10 9 )= = 0,5

14 2.Население Дании составляет 5,410 6 человек, а ее территория равна 4, км 2. Какой из ответов характеризует среднее число жителей на км 2 ? 1 7,9 чел Население Великобритании составляет человек, а ее территория равна 2,410 5 км 2. Какой из ответов характеризует среднее число жителей на км 2 ? 1 2, ,5 3 0,4 4 0, Подумай Верно Подумай Верно :(2,410 5 )= (6 : 2,4 ) (10 7 : 10 5 )= = 2, , , ,410 6 :(4,310 4 )= (5,4 : 4,3 ) (10 6 : 10 4 )= = 1,3 10 2

15

16 3.1. Укажите число, соответствующее 10%. 1) 0,12) 0,013) 14) Укажите число процентов, соответствующее числу 0,02. 1) 0,2%2) 2%3) 20%4) 5% 3.3.Найдите 20% от числа 15. Ответ: 3.4. От какого числа 17% составляют 85? Ответ: 3.5. Увеличьте число 120 на 20%, полученное число уменьшите на 20%. Какое число получится? Ответ: % 0,02100 % 20%=1/5 1/5 от 15- 1/515=3 3 17%=0,17 85:0,17= = %=0,2 1200,2= = ,2=28, ,8= =115,2 115,2

17 3,6. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: «Стоимость участия в семинаре 3000 р. с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 4 до 10 человек 5%;более 10 человек 8%». Сколько должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 4 человек? Подумай Верно р р р. Подумай = % = 0, ,05 = = 600 (р.). – скидка = р. 600 р.

18 3,7. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары:«Стоимость участия в семинаре 2000 р. с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 3 до 5 человек 3%;более 5 человек 5%». Сколько должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 6 человек? Подумай Верно р р р. Подумай = % = 0, ,05 = = 600 (р.). – скидка = р. 600 р.

19 3.8.Цена товара 200 р. В понедельник эту цену уменьшили на 10%. По какой цене продавался товар во вторник? 1) 200 р. 2) 190 р. 3) 180 р. 4) 20 р Цена товара 300 р. В понедельник эту цену уменьшили на 10%. Во вторник цену опять уменьшили на 10%. По какой цене продавался товар в среду? 1) 280 р.2) 240 р.3) 243 р.4) 3 р. 10%=0, ,1= = = =180 10%=0,1 3000,1= = ,1= = =243

20

21 1.Некоторый товар поступил в продажу по цене 600 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами, цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течение третьей недели? 1.Некоторый товар поступил в продажу по цене 400 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами, цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течение третьей недели? р руб руб руб руб. Верно Подумай Верно Подумай 360 р 380 р. 324 р. 10%=0,1 6000,1= = ,1= = =486 10%=0,1 4000,1= = ,1= = =324

22 2.Некоторый товар поступил в продажу по цене 700 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами, цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течение третьей недели? 2.Некоторый товар поступил в продажу по цене 300 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами, цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течение третьей недели? р руб руб руб руб. Подумай Верно Подумай Верно 240 р. 280 р. 30 р. 10%=0,1 7000,1= = ,1= = =567 10%=0,1 3000,1= = ,1= = =243

23 3.Некоторый товар поступил в продажу по цене 1400 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами, цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течение третьей недели? 3.Некоторый товар поступил в продажу по цене 800 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами, цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течение третьей недели? р руб руб руб ,8 руб. Подумай Верно Подумай Верно 720 р. 512 р. 160 р. 20%=0, ,2= = ,2= = =896 20%=0,2 8000,2= = ,2= = =512

24

25 4. Зная длину своего шага, человек может подсчитать пройденное им расстояние s по формуле: s = nl, где n число шагов, l длина шага. Какое расстояние прошел человек, сделавший 3500 шагов, если длина его шага составляет при- мерно 80 см? Ответ выразите в километрах. Ответ: 4.Зная скорость и время движения, человек может подсчитать пройденное им расстояние s по формуле: s = ut, где у скорость движения, t время движения. Какое расстояние прошел человек, двигавшийся 2500 секунд, если его скорость составляет примерно 80 см в секунду? Ответ выразите в километрах в час. Ответ: = 2800 см = 0,028 км = см = 2 км

26 4.1. Выразите в километрах а) см = км; г) см = км; б)36000 м = км; д) 7500 м = км; в) см = км; е) см = км. 4.2 Пешеход идет со скоростью 4,8 км в час. Какой путь он пройдет за 1,5 часа? 4.3. Велосипедист едет в гору со скоростью 12 кмв час, a с горы со скоростью 18 км в час.Какой путь проедет велосипедист, если дорога в гору заняла 0,6 часа, а с горы 0,15 часа? 4.4. Велосипедист едет в гору со скоростью 12 км в час, а с горы со скоростью 18 км в час. Какой путь проедет велосипедист, если дорога с горы заняла 0,5 часа, а в гору 0,75 часа? 4.5. Собственная скорость моторной лодки 8 км/ч, а скорость течения реки 1,5 км/ч. Какое расстояние проплывет лодка против течения реки за 3 часа? ,5 35,1 7,5 3,6 4,8 1,5= 7,2 км 12 0, ,15 = 9,9 км 12 0, ,5 = 18 км (8-1,5) 3 = 3,5 км

27

28 4.8. Выразите из формулы l=mgh+0.5mv 2 переменную h Выразите из формулы l=mgh+0.5mv 2 переменную m. 4.9.Зная скорость и время движения, человек может подсчитать пройденное им расстояние s по формуле: s = vt, где v скорость движения, t время движения. Какое расстояние прошел человек, двигавшийся 2900 секунд, если его скорость составляет примерно 90 см в секунду? Ответ выразите в километрах. 4.9.Зная скорость и время движения, человек может подсчитать пройденное им расстояние s по формуле: s = vt, где v скорость движения, t время движения. Какое расстояние прошел человек, двигавшийся 2900 секунд, если его скорость составляет примерно 110 см в секунду? Ответ выразите в километрах.

29 4.10.Зная скорость и время движения, человек может подсчитать пройденное им расстояние s по формуле: s = vt, где v скорость движения, t время движения. Какое расстояние прошел человек, двигавшийся 45 минут, если его скорость составляет примерно 76 м в минуту? Ответ выразите в километрах Зная скорость и время движения, человек может подсчитать пройденное им расстояние s по формуле: s = vt, где v скорость движения, t время движения. Какое расстояние прошел человек, двигавшийся 125 минут, если его скорость составляет примерно 78 м в минуту? Ответ выразите в километрах.

30 4.8. Выразите из формулы l=mgh+0.5mv 2 переменную h Выразите из формулы l=mgh+0.5mv 2 переменную m. mgh= l - 0.5mv 2 l= m (gh +0.5v 2 )

31 = =3420 (м) =3,42 км = =9750 (м) =9,75 км = = (см) =2,61 км = = (см) =3,19 км

32

33 5.Даны выражения: А Только A 2 Только Б 3 А, Б и В 4 Б и В Подумай Верно Подумай a-3=0 Какие из этих выражений не имеют смысла при а = 3 ? Б В 1

34 Подумай Верно 5.1. Вычислите значение выражения при х = Укажите выражение, тождественно равное дроби 2341

35 Подумай Верно Подумай 5.3 Укажите выражение, тождественно равное дроби 2341

36 5.4Даны выражения: А Только A 2 Только Б 3 А, Б и В 4 Б и В Подумай Верно Подумай a+7=0 Какие из этих выражений не имеют смысла при а = -7 ? Б В 1 5.4Даны выражения: Какие из этих выражений не имеют смысла при а = -4 ? А Б В Только A Только В А, Б А, Б и В Подумай Верно a+4=0

37 5.5Даны выражения: А Только В 2 Только А 3 А, Б и В 4 А и Б Подумай Верно a+2=0 Какие из этих выражений не имеют смысла при а = -2 ? Б В Даны выражения: Какие из этих выражений не имеют смысла при а = -5? А Б В Только A Только Б А, В А и Б Подумай Верно Подумай a+5=0

38 5.6Даны выражения: А Только А 2 Только В 3 А, Б и В 4 А и В Подумай Верно a+1=0 Какие из этих выражений не имеют смысла при а = -1 ? Б В 1 5.6Даны выражения: Какие из этих выражений не имеют смысла при а = 1? А Б В Только A Только В А, В А и Б Подумай Верно a-1=0

39 5.7При каком значении a выражение не имеет смысла? Верно Подумай Верно a=0 a+5=0

40 5.8.При каком значении a выражение не имеет смысла? Верно Подумай Верно a-4=0 a+6=0

41

42 1) а1 2) а1 и а2 3) а2 4) а- любое число АБВ 42 3 БВА 6.1 Соотнесите каждое выражение с множеством значений переменной, при которых оно имеет смысл

43 1) (a + b) 2 = a 2 + b 2 2) (a + b)(b - a) = b 2 - a 2 3)(x - y) 2 = y 2 - x 2 4)(x+3) 2 = x 2 + 6x + 9 5)3(x-y) = 3x - y 2 6)(x-3) (3+x)= 9 - x В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

44 6.3. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное? 1 2(x-y)=2x-y Подумай Верно (x-y) 2 =x 2 -y 2 (2+x)(x-2)=x 2 -4 (x+2) 2 =x 2 +2x

45 6.4. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное? 1 (x-2) y=x-2y Подумай Верно (2-x) 2 =4 -4x+x 2 (x+y)(y-x)=x 2 -y 2 (x+y) 2 =x 2 +y 2

46 6.5. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное? 1 (x-2y) 2 =x 2 -4xy+4y Подумай Верно (2-x) (x-2) =x (y-x)=-5y-5x -7(x+3) =21+7x

47

48 Подумай Верно Подумай Упростите выражение

49 Подумай Верно Подумай x8x 7.1. Упростите выражение

50

51 8.1.На рисунке изображен график функции y=x 2 -4x. Используя график, решите неравенство x 2 >4x Подумай Верно Подумай (-;0) U (4;+) (0;4) x 2 -4x>0

52 8.2.На рисунке изображен график функции y=x 2 +6x. Используя график, решите неравенство x 2

53 40 Подумай Верно Подумай (-;-4) U(0;+) (-4;0) U(4;+) (-;-4) U (0;4) (-4;0) На рисунке изображен график функции y=f(x). Используя график, решите неравенство f(x)

54

55 Решите уравнение x 2 -x-6= x - 2 = 7 6(3 - x) (2-x)= 7(x+3) x=17-3(x+1) D=b 2 -ac=1+48=49 4x-2=7-18+6x; -2x=-9; x=4,5 -6+3x=7x+21-11; -4x=10+6; x=-4 4-5x=17-3x-3; -2x=14-4; x=-5 x 1 =2 x 2 =-1,5

56 9.5 Решите уравнение x+9 3 -= x Верно Подумай (x+9)-3(x-1) 15 = x+45-3x+3=30 x=-9

57 9.6 Решите уравнение (x-2)(x+3) x-3 = Подумай Верно Подумай 2; ;3;-3 (x-2)(x+3)=0 x-30 x=2 x=-3

58 9.7 Решите уравнение 5 x+2 = Подумай Верно Подумай 13 -2;4; 4;-2;13 5;3 5(x-4)=3(x+2) x+20 x=13 3 x-4 x-40 x4 x-2 x=13

59

60 Решите неравенство x 8(x-3)

61 Решите неравенство Подумай Верно x>-10 x-3 x-2 x-2 x

62

63 Верно Подумай 2341 xn1000xn 11.1.Один килограмм сыра стоит х рублей, составьте выражение для вычисления стоимости n г этого сыра.

64 Подумай Верно За m кг творога заплатили х рублей, составьте выражение для вычисления стоимости 1 кг этого творога.

65 Подумай Верно Подумай a0,3a Цена килограмма орехов a рублей. Сколько рублей надо заплатить за 300 граммов этих орехов?

66 Подумай Верно Подумай 2341 an Цена килограмма бананов a рублей. Сколько рублей надо заплатить за n граммов этих бананов?

67 Подумай Верно Подумай (x-8)=3x5x=3(x+8) От турбазы до станции турист проехал на велосипеде за 5 часов. На мопеде это расстояние он смог проехать за 3 часа. Известно, что на мопеде он едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем на велосипеде. Какое расстояние ( в км) до станции? Выберите уравнение соответствующее условию задачи, если буквой x обозначено расстояние ( в км) до станции.

68 Верно Подумай (4-x)+ 12(4+x)=8 18((4-x)+ (4+x))=12* Расстояние между двумя причалами по реке равно 12 км. На путь между двумя причалами и обратно лодка потратила 8 часов. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 4 км/ч. Выберите уравнение соответствующее условию задачи, если буквой x обозначено ( в км/ч) собственную скорость лодки.

69

70 12.1. Прямая y=2x-3 пересекает параболу y=x 2 -x-7 в двух точках. Вычислите координаты точки B. А В x2-x-7=2 x-3 x 2 -3x-4=0 x 1 =-1 x 2 =4 x=-1 y=2(-1)-3=-5 (-1;-5)

71 12.2. Прямая y=3x+2 пересекает параболу y=x 2 +2x в двух точках. Вычислите координаты точки B. А В x 2 +2x=3 x+2 x 2 -x-2=0 x 1 =-1 x 2 =2 x=-1 y=3(-1)+2=-1 (-1;-1)

72 12.3. Прямая y=2x+3 пересекает параболу y=2x 2 +3x+2 в двух точках. Вычислите координаты точки B. А В 2x 2 +3x+2=2 x+3 2x 2 +x-1=0 x 1 =-1 x 2 =0,5 x=-1 y=2(-1)+3=1 (-1;1)

73 12.4. Вычислите координаты точки B. А В 2x-3y=-8 x-4y=-5 x-4 0,4=-5 x=-5+1,6=-3,4 (-3,4;0,4) С 2x-3y=-8 x+y=5 x-4y=-5 *(-2) 2x-3y=-8 -2x+8y=10 5y=2 y=0,4

74

75 13.1.График какой квадратичной функции изображен на рисунке y=-x 2 +4x Подумай Верно Подумай y=x 2 -2x-3 y=-x 2 +2x-3 y=x 2 +2x+3 3 Корни: x=-1;x=3

76 13.2.График какой квадратичной функции изображен на рисунке y=-x 2 -3x Верно Подумай y=x 2 -3x-4 y=-x 2 +3x+4 y=x 2 -3x-4 4 Корни: x=-1;x=4

77 13.3.График какой квадратичной функции изображен на рисунке y=-x 2 +4x Подумай Верно y=x 2 -4x-5 y=-x 2 +6x-5 y=x 2 +6x+5 -5 Корни: x=-1;x=-5

78 1) у = -Зх - 6 2) у = -Зх + 6 3) у = Зх - 6 4) у = Зх Для каждого графика укажите соответствующую формулу. АБВ 231

79 1) у = 0,5х - 3 2) у = -0,5x - 3 3) y= -0,5x + 3 4) у = 0,5x Для каждого графика укажите соответствующую формулу. АБВ 213

80 13.6.Какая из прямых пересекает график функции у = - в двух точках? 1) у = -Зх; 2) y = 2х; 3) у = -5; 4) x = 4 Y X

81

82 1 2a+12

83 1 3a+112

84 1 5b-a>4b Верно Подумай 5b-2ab? a>b 2a>2b 2a-2b>0 2a-2b>-1 5b-4b>a b>a

85 1 b-3a0 a-b+2>1 2a-5b> Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию a>b? a>b a-b>0 a-b>-1 b3a b>a

86 1 b-a Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию a>b? a>b 2a-2b>0 2a-2b>-1 b-b

87

88 А Б 40 Время, мин На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Кто из кандидатов получил больше голосов в период с 20-ой по 40-ой минуты, и на сколько? = 20 тыс = 5 тыс.

89 Б 40 t, мин Из пункта А в пункт В вышел отряд туристов, и через некоторое время вслед за ним выехала группа велосипедистов. На рисунке изображены графики движения туристического отряда и группы велосипедистов. Определите, на сколько меньше времени затратили на путь из А в Б велосипедисты, чем туристы на 15 мин на 60 мин на 75 мин На 30 мин. S, км 45 мин 15 мин

90 На тренировке в 50-метровом бассейне пловец проплыл 200- метровую дистанцию. На тренировке изображен график зависимости расстояния s (м) между пловцом и точкой старта от времени движения t (с) пловца. Какое расстояние преодолел пловец за 1 мин. 40 с. 50 t,c s,м 1 30м Подумай Верно Подумай 120м 130м 175м =100 сек

91

92 Найдите a 8. a 2 =a 1+1 =-1/a 1 =-3 a 3 =a 2+1 =-1/a 2 =-1/3 a 4 =a 3+1 =-1/a 3 =-3 ……………………….. a 8 = Последовательность задана условиями:

93 16.2 Геометрическая прогрессия задана условиями: b 1 =2; b n+1 =-2b n. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии? Верно Подумай b 2 =-2b 1 =-4 b 3 =-2b 2 =8 b 4 =-2b 3 =-16

94 16.3 Про арифметическую прогрессию известно: a 3 =15; a 7 =23. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии? a 7- a 3 =23-15=8=4d d=2 a 2 =a 3 -d=15-2=13 a 1 =a 2 -d=13-2=11 Все числа нечетные, значит 18 и 32 Число 3 не подходит. Проверим число 29: 29= a 1 +2(n-1) 29= 11+2n =2n n=15 Ответ: 29

95 A x n = n 2 Б В z n = 2n y n = 2 n 16.4.Каждой последовательности, заданной формулой n-го члена (левый столбец), поставьте в соответствие верное утверждение (правый столбец). 1) Последовательность – арифметическая прогрессия 2) Последовательность – геометрическая прогрессия 3) Последовательность не является прогрессией AБВ 12 3

96

97

98 17.1.a Сократите дробь. 1+5m-n-5mn 5m 2 +3m-2 = 1-n+5m-5mn 5m 2 +3m-2 = Разложим числитель способом группировки, а в знаменателе квадратный трехчлен на множители. 1-1n+5m-5mn=1(1-n)+5m(1-n)= (1-n)(1+5m) 5m 2 +3m-2 = 5(m-m 1 )(m-m 2 ) Найдем корни квадратного трехчлена: 5m 2 +3m-2=0 D=9+40=49 m 1,2 = ±49 m 1 =-1,6m 2 =-0,2 = = 5(m-)(m-) +1,6+0,2 = (m+1,6)(5m+1)

99 (1-n)(1+5m) (m+1,6)(5m+1) = = 1-n m+1, b Сократите дробь. 3a 2 -4a+1 1-3a+b-3ab = (a-1)(3a-1) (1+b)(1-3a) = = (a-1)(1-3a) (1+b)(1-3a) - = 1-n m+1,6 1-a 1+b

100 17.2.a Упростите выражение. *Разложим в знаменателе второй дроби квадратный трехчлен на множители. 2 с-2 + 3с-21 с 2 +с-6 + 2с с+3 ( ) с 2 с-5 с 2 +с-6=(с-с 1 ) (с-с 2 ) Найдем корни квадратного трехчлена: с 2 +с-6=0 По тереме, обратной теореме Виета: с 1 =-3;с 2 =2 =(с+3) (с-2) *Сложим дроби в скобке: НОД знаменателей равен (с+3) (с-2) Дополнительный множитель I дроби: (с+3) ; III дроби:(с-2)

101 2(с+3) (с-2)(с+3) + 3с с(с-2) (с+3)(с-2) 1)= (с+3) (с-2) 2с+6+3с-21+2с 2 -4с (с-2)(с+3) = 2с 2 +с-15 (с-2)(с+3) Разложим в числителе квадратный трехчлен на множители. 2с 2 +с-15=0 D=1+120=121 2с 2 +с-15=2(с-с 1 ) (с-с 2 ) с 1,2 = 4 -1 ±121 с 1 =2,5;с 2 =-3 2с 2 +с-15=2(с+3) (с-2,5)= (с+3) (2с-5) 2с 2 +с-15 (с-2)(с+3) = (с+3) (2с-5) (с-2)(с+3) = 2с-5 с-2

102 2) с 2 с-5 с-2 = (2с-5) с (с-2)(2с-5) с с-2 = 17.2.б Упростите выражение. 4x 2 -1 x 2 -5x+6 x-2 2x x x-3 1) (2x+1)(x-2) (x-2)(x-3)(2x+1) = 1 x-3 2)2) x x-3 = 1- 1-x x-3 = 2-x x-3

103

104 18.1.a Выясните, имеет ли корни уравнение: х 2 + 2x2 + 10x = -41. Уравнение имеет корни, если дискриминант неотрицателен: D0. a=1 D=a 2 -4ac=( 2 +10) = х 2 + ( )x +41= 0 b= = c=41 = = Оценим полученное выражение: 402= = = > >0 D>0 Уравнение имеет 2 корня.

105 18.1.b Выясните, имеет ли корни уравнение: х 2 + 2x6 + 4x = 20. D

106 18.2.a Найдите область определения выражения: 4+7x-2x 2 x 2 -4 Область определения выражения задается условиями: 4+7x-2x 2 0 x Решим неравенство: 4+7x-2x 2 0 2x 2- 7x-40 2x 2- 7x-4=0 D=a 2 -4ac=49-48=1 x 1 =-1/2; x 2 =4; x -1/ [-1/2;4] x (x-2)(x+2)0 x-2; x [-1/2;2) U (2;4]

107 18.2.b Найдите область определения выражения: 6+x-2x 2 2x-3 [-1,5;1,5) U (1,5;2]

108

109 19.1.a Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 120, которые не делятся на 4. Пусть S искомая сумма; S = S1 - S2, где S1 сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 120, S2 -сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 120. Найдем S 1 : S1=S1= = Найдем число членов этой последовательности. Так как она задается формулой а п = 4n, то 4п = 120, п = 30. Найдем S 2 : S2=S2= = S=S1 - S2 В последовательности (а п ) чисел, кратных 4 и не превосходящих 120, а 1 = 4, а п = 120. Получим: S= S1 - S2 = = = 60( ) = 5400.

110 19.2.b Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые не делятся на 5. Найдем S 1 : S1=S1= = Найдем число членов этой последовательности. Так как она задается формулой а п = 5n, то 5п = 150, п = 30. Найдем S 2 : S2=S2= = S=S1 - S2 Получим: S= S1 - S2 = = = 75( ) = 9000.

111

112 20.1 Решите систему уравнений На основании условия равенства произведения нулю получим: x+1=0 2y 2 +x-y=5 2y-1=0 2y 2 +x-y=5 или Решим первую систему. Из первого уравнения имеем х = 1; подставив это значение х во второе уравнение, получим уравнение 2у 2 - у 6=0. корни: у 1 = 2, y 2 = 1,5. Получили два решения системы уравнений (1; 2) и (1; 1,5). Решим вторую систему. Из первого уравнения имеем у = 0,5; подставив это значение у во второе уравнение, получим уравнение 0,5 + х 0,5 = 5, х = 5. Получили еще одно решение системы уравнений: (5; 0,5). Таким образом, система имеет три решения (1; 2), (1; 1,5), (5; 0,5). (x+1)(2y-1)=0 2y 2 +x-y=5

113 20.2 Решите систему уравнений На основании условия равенства произведения нулю получим: 2x+1=0 x 2 -4x+y=-1 y-2=0 x 2 -4x+y=-1 или Решим первую систему. Из первого уравнения имеем х = 0,5; подставив это значение х во второе уравнение, получим уравнение y=-1. корни: у =-3,25 Получили решение системы уравнений (0,5;-3,25). Решим вторую систему. Из первого уравнения имеем у = 2; подставив это значение у во второе уравнение, получим уравнение х 2 4х + 3 = 0 Получили еще два решения системы уравнений: (1; 2) и (3; 2). Таким образом, система имеет три решения (1; 2), (3; 2),(0,5;-3,25). (2x+1)(y-2)=0 x 2 -4x+y=-1

114 20.3. Найдите все значения а, при которых неравенство х 2 + (2а + 6)х + 12а + 4 < 0 не имеет решений. Неравенство не имеет решений при 1 < а < 5. a 2 - 6а + 5=0 a 1 = 5, a 2 = 1. x < а < 5. График функции у = х 2 + (2a + 6)х + 12a + 4 парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, данное неравенство не имеет решений в том и только том случае, когда эта парабола целиком расположена в верхней полуплоскости. Отсюда следует, что дискриминант квадратного трехчлена х 2 + (2а + 6)х + 12а + 4 должен быть отрицателен. Имеем: D : 4 = (а + З) 2 - (12a + 4) = a 2 - 6а + 5 < 0. Решим квадратное неравенство:

115 20.4. Найдите все значения а, при которых неравенство х 2 -аx + a + 7 0имеет решения. a 2 - 2а -27 =0 D:4=4+28=32 a 1,2 = 2±42. a(-; 2-42) U (2+42;+) График функции у = х 2 -ax + a + 7 парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, данное неравенство имеет решения в том и только том случае, когда эта парабола касается или пересекает ось X. Отсюда следует, что дискриминант квадратного трехчлена х 2 -ax + a + 7 должен быть неотрицательным. Имеем: D = (-а) 2 - 4(a+ 7) = a 2 - 4а Решим квадратное неравенство:

116

117 21.1.a. Прямая у = -Зх + b касается окружности х 2 + у 2 = 10 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания. Определите координаты точки касания b. Прямая у = 1/2x + b касается окружности х 2 + у 2 = 20 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания. Определите координаты точки касания.

118 1) Найдем значения b, при которых система имеет единственное решение. Решение. Выполнив подстановку, получим уравнение х 2 + (-Зх + b) 2 = 10, 2) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. т.е. 10x 2 - 6xb + b = 0. Имеем: D : 4 = 9 – 10(b ) = b 2. Решив уравнение 100 b 2 = 0, получим b = ±10.

119 3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: у = 3х + 10 и у = 3х 10. Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение 10x 2 - 6xb + b = 0. при b = 10 получим х 2 + 6х + 9 = 0, откуда х = -3; этот корень не удовлетворяет условию задачи; при b = 10 получим х 2 6х + 9 = 0, откуда х = 3. Найдем соответствующее значение у: у = -Зх+ 10 = = 1. Координаты точки касания (3; 1).

120 1) Найдем значения b, при которых система имеет единственное решение. Выполнив подстановку, получим уравнение х 2 + (1/2х + b) 2 = 20, т.е.5/4x 2 + bх +4- b = 0. 2) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. Имеем: D = b 2 5(b 2 20) = b 2. Решив уравнение 100 4b 2 = 0, получим b = ± 5.

121 3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: у= 1/2x+ 5 и y= 1/2x- 5. Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение 5/4x 2 + bх +4- b = 0 b = 5 при b = 5 получим х 2 + 4х + 4=0, откуда х = 2; этот корень не удовлетворяет условию задачи; b = -5 при b = -5 получим х 2 – 4x + 4=0, откуда x = 2. Найдем соответствующее значение y: у=1/2x-5=1- 5 = -4. Координаты точки касания (2; -4).

122 21. Найдите все значения к, при которых прямая у = кх пересекает в трех различных точках график функции Зх + 7, если х< -3 -2, если -3 < х < 3 3x 11, если х > 3. y=

123 Y X Зх + 7, если х< -3 -2, если -3 < х < 3 3x 11, если х > 3. y= у = кх

124 Прямая у = кх пересекает в трех различных точках этот график, если ее угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (3; 2) и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямым у = Зх + 7 и у = 3x - 11 Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку(3; 2): -2 = 3x к = 2/3. Угловой коэффициент к прямой, параллельной прямой у = Зх + 7, равен 3. Прямая у = кх имеет с графиком заданной функции три общие точки при 2/3 < к < 3.

125 21. Найдите все значения к, при которых прямая у = кх пересекает в трех различных точках график функции -3х, если х< -1; 3, если -1 х 2 3x 3, если х >2. y=

126 Y X (-;-3) Ù {1,5} Ù (3;+ ) -3х, если х< -1; 3, если -1 х 2 3x 3, если х >2. y=