Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н. - презентация

1 Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.

2 Содержание Ранг матрицы Ранг матрицы Ступенчатая матрица размера Ступенчатая матрица размера Элементарные преобразования матрицы Элементарные преобразования матрицы Обратная матрица Обратная матрица Теорема Теорема Свойства обратной матрицы Свойства обратной матрицы

3 Ранг матрицы Если А ¹ 0, то есть, то всегда можно указать натуральное число r такое, что: 1)у матрицы А имеется минор r-го порядка D r ¹ 0; 2)всякий минор матрицы А порядка r+1 и выше равен нулю, то число r, обладающее указанными свойствами, называется рангом матрицы А и обозначается r = Rg A.

4 Очевидно, что. Очевидно, что. Если все аij = 0, то r=RgV=0. Замечание. Если все аij = 0, то r=RgV=0. Замечание. Из определения 6 следует, что ранг r = Rg A матрицы А - это наивысший порядок отличного от нуля минора D r матрицы А. Из определения 6 следует, что ранг r = Rg A матрицы А - это наивысший порядок отличного от нуля минора D r матрицы А.

5 Определение. Определение. Всякий D r ¹ 0, то есть всякий отличный от нуля минор r-го порядка матрицы А, у которой Rg A=r, называется базисным минором матрицы А. Всякий D r ¹ 0, то есть всякий отличный от нуля минор r-го порядка матрицы А, у которой Rg A=r, называется базисным минором матрицы А.

6 ПРИМЕР 1: Очевидно, r = Rg A = 1 Очевидно, r = Rg A = 1 ПРИМЕР 2: Так как det A = D 3 = 7¹ 0, то r = Rg A = 3.

7 ПРИМЕР 3: det A = D 3 = 0 и так как это единственный минор третьего порядка, то r = Rg A¹ = 3.

8 Ступенчатая матрица размера где а 11 0, а 22 0,..., а r r 0.

9 Ее минор r-го порядка, Ее минор r-го порядка то есть Rg B = r, где r - число ненулевых строк ступенчатой матрицы

10 Элементарные преобразования матрицы Перестановка любых двух строк (столбцов); Перестановка любых двух строк (столбцов); Умножение какой-либо строки (столбца) на число а 0; Умножение какой-либо строки (столбца) на число а 0; Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число; Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число; Вычеркивание (отбрасывание) строки (столбца), состоящей из одних нулей ; Вычеркивание (отбрасывание) строки (столбца), состоящей из одних нулей ;

11 Эквивалентные матрицы Две матрицы А и В, получающиеся одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными. Две матрицы А и В, получающиеся одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными. Обозначение эквивалентности A ~ B. Эквивалентные матрицы, вообще говоря, не равны друг другу, но можно доказать, что ранги эквивалентных матриц равны

12 Любую ненулевую матрицу А можно привести с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду В и, следовательно, найти ее ранг Любую ненулевую матрицу А можно привести с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду В и, следовательно, найти ее ранг Rg A= Rg B.

13 Найти ранг матрицы РЕШЕНИЕ. Вычитаем из второй и третьей строк матрицы А первую строку, умноженную, соответственно, на 2 и 1, затем в полученной матрице А элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженной на единицу, далее в полученной матрице вычеркиваем (отбрасываем) третью строку, состоящую из одних нулей

14 РЕШЕНИЕ. ~ ~~ ~ Очевидно, RgA=RgB=2. = B.

15 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Обратной по отношению к заданной квад­рат­ной матрице А называют такую матрицу А -1, что Обратной по отношению к заданной квад­рат­ной матрице А называют такую матрицу А -1, что А А -1 = А -1 А = Е

16 ПРИМЕР: Если и |A|0, то обратной будет матрица так как А А -1 = А -1 А = Е =

17 Матрицу А, которая имеет обратную матрицу А -1, называют обратимой или неособенной.

18 ТЕОРЕМА. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу обратную матрицу А -1, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, то есть чтобы det A ¹ 0.

19 Матрицу А * называют присоединенной к матрице А. Найдем произведение матриц А А*:

20 Формула нахождения обратной матрицы

21 Напомним, что: A ik = (-1) i+k M ik есть алгебраическое дополнение элемента a ik, A ik = (-1) i+k M ik есть алгебраическое дополнение элемента a ik, а M ik - его минор а M ik - его минор

22 Найти обратную матрицу А -1. РЕШЕНИЕ. det A 0, то есть А является невырожденной матрицей и имеет обратную А -1. Для составления присоединенной матрицы А* найдем алгебраические дополнения.

23

24

25 то есть следовательно,

26 Свойства обратной матрицы (АВ) -1 = В -1 А -1 ; так как (АВ) -1 = В -1 А -1 ; так как (АВ)( В -1 А -1 )= А(В В -1 )А -1 = А(Е)А -1 =АА -1 =Е и (В -1 А -1 ) (АВ) = Е; (А -1 ) -1 = А; (А -1 ) -1 = А; (А т ) -1 = (А -1 ) т (А т ) -1 = (А -1 ) т