Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов. Уважение к минувшему – вот черта, отличающая образованность от дикости. А.С. - презентация

1

2 Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов. Уважение к минувшему – вот черта, отличающая образованность от дикости. А.С. Пушкин Учебная презентация урока 7класс

3 Немного теории Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов. Существует несколько способов разложения: Методы разложения на множители Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки в том числе с использованием предварительного преобразования Применение формул сокращенного умножения Выделение полного квадрата 5 Комбинирование различных приемов

4 Вынесение общего множителя за скобки Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов) Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

5 Способ группировки Способ группировки Алгоритм разложение многочлена на множители способом группировки 1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель. 2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки. 3. Вынести в каждой новой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки

6 Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения a 2 -b 2 =(a-b)(a+b); a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2. Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений. Вспомните эти формулы:

7 Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов. Уважение к минувшему – вот черта, отличающая образованность от дикости. А.С. Пушкин Выполнение теста 1

8 Задание 1 А Разложение многочлена на множители - это представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

9 Задание 1 Б Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки 1 2 3

10 Задание 1 В

11 Задание 1 Г Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, нужно Произведение коэффициента и степеней, как общий множитель, выноситься за скобки Найти переменные, входящие в каждый член многочлена с наименьшим показателем степени (из имеющихся) Найти НОД коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен 1 2 3

12 Задание 2 Метод разложения на множители Вынесение общего множителя за скобки Формулы сокращенного умножения Способ группировки 20x 3 y 2 +4x 2 y b(a+5)-c(a+5) 15a 3 b+3a 2 b 3 2y(x-5)+x(x-5) a 4 -b 8 27b 3 +a 6 x 2 +6x+9 49m 4 -25n 2 2bx-3ay-6by+ax a 2 +ab-5a-5b 2an-5bn-10bm+4am 3a 2 +3ab-7a-7b

13 Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов. Уважение к минувшему – вот черта, отличающая образованность от дикости. А.С. Пушкин Выполнение теста 2

14 Вариант II. Вариант I. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители. Вынесение общего множителя за скобки Формула сокращенного умножения Не раскладывается на множители Способ группировки Вынесение общего множителя за скобки Формула сокращенного умножения Не раскладывается на множители Способ группировки

15 3-й ряд А1. 2a-4 А2. 16a 2 +8a+1 А3. 4x 2 y-8xy-16xy 2 А4. 2(a 3 +3bc)+a(3b+4c) А5. b-c-a(c-b) А6. x 2 -3x-5x+15 «Математическая эстафета» Разложить на множители 1-й ряд А1. a 2 b 3 -a 3 b 4. А2. 2a+2b+a 2 +ab А3. 6а-3 А4. аb-ac+7c-7b А5. 12x 2 y-6xy-24xy 2 А6. 25x 2 +10x+1 А7. 9с 2 -a 2 b 2 А y+9y 2 2-й ряд А1. 4x 2 -4x+1 А2. x(y+4)+4+y А3. m 2 +mn-m-mq-nq+q А4. а 2 -3ab+a-aq+3bq-q А5. 18x 2 +12x+2 А6. x 4 -9a 2 А7. 1-8a 2 А8. 2(3a 2 +bc)+a(4b+3c)

16 Ответы к «Математической эстафете» Ряд 1 А1А2А3А4А5А6А7А Ряд 2 А1А2А3А4А5А6А7А Ряд 3 А1А2А3А4А5А6А7А хх хх хх х х х х х х х х х х ххх х х х

17 Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

18 Пример 1 Разложить на множители многочлен 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4. НОД(36,96,64)=4. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a 6, a 4, a 2 ), поэтому за скобки можно вынести a 2. Во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b 3, b 4, b 5 ) – за скобки можно вынести b 3. Итак, за скобки вынесем 4a 2 b 3. 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (9a 4 -24a 2 b+16b 2 ). 2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a 4 -24a 2 b+16b 2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем: 9a a 2 b + 16b 2 = (3a 2 ) 2 - 2·3a 2 ·4b + (4b) 2. Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно, 9a a 2 b + 16b 2 = (3a 2 -4b) 2. 3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат: 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 = 4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2.

19 Пример 1 Разложить на множители многочлен 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (9a 4 -24a 2 b+16b 2 ) =4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2 Комбинируем два приема: - вынесение общего множителя за скобки; - использование формул сокращенного умножения. Решение (краткая запись):

20 Пример 2 Разложить на множители многочлен a 2 - с 2 + b 2 + 2ab Комбинируем два приема: - группировку; - использование формул сокращенного умножения. Решение:

21 Пример 3 Разложить на множители многочлен y 3 – 3y 2 + 6y – 8 Комбинируйте три приема: - группировку; - формулы сокращенного умножения; - вынесение общего множителя за скобки. Решение: y 3 – 3y 2 + 6y – 8=(y 3 -8)-(3y 2 -6y)= =(y-2)(y 2 +2y+4)-3y(y-2)= =(y-2)(y 2 +2y+4-3y)=(y-2)(y 2 -y+4). Попробуйте его решить

22 1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть). 2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения. 3. «Увидеть» и попробовать выделить полный квадрат. 4. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели). Комбинирование различных приемов Порядок применения различных методов при разложении многочлена на множители

23 За страницами учебника алгебры Франсуа Виет ( ) 2 Квадратное уравнение – это уравнение вида: ax 2 +bx+c=0 (где a=0) 2 Многочлен вида: ax 2 +bx+с – квадратный трёхчлен. Коэффициенты: a, b, с (где с – свободный член) 2 _________Задание 1________________ Разложить на множители x 2 +5x-6, используя метод предварительного преобразования. Внимание! Делители свободного члена. 3 _________Задание 2________________ Разложить на множители x 3 +2x 2 -5x-6, используя метод предварительного преобразования. Внимание! Делители свободного члена.

24 Комбинируйте три приема: - вынесение общего множителя за скобки; - предварительное преобразование; - группировку. n3+3n2+2nn3+3n2+2nn3+3n2+2nn3+3n2+2n Пример 4 Разложить на множители многочлен Попробуйте его решить решениесрез знаний

25 Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n 2 +3n+2). Теперь к трехчлену n 2 +3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим: n 2 +3n+2=n 2 +2n+n+2=(n 2 +2n)+(n+2)= =n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1). Окончательно получаем: n 2 +3n+2=n(n+1)(n+2). Задание: самостоятельно попробуйте сделать краткую запись примера Пример 4 Разложить на множители n 3 +3n 2 +2n Решение:

26 Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов. Уважение к минувшему – вот черта, отличающая образованность от дикости. А.С. Пушкин Срез знаний по теме

27 Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для этого обратим внимание на удвоенное произведение 6х=2·х·3. Значит полный квадрат будет справедлив для двух выражений х и 3. x 2 -6x+5=(x 2 -2·x·3+3 2) = =(x 2 -6x+9)-9+5= (x 2 -6x+9)-4= =(x-3) =(x-3-2)(x-3+2)= =(x-5)(x-1). Пример разложить на множители квадратный трехчлен х 2 -6x+5 Метод выделения полного квадрата Первый способ. Используем предварительное преобразование, обращая внимание на свободный член +5. Делители 5: +1,- 1,+5,-5. Представим –6x=–x+(-5x), а затем применим способ группировки: x 2 -6x+5=x 2 -5x+5= =(x 2 -x)+(-5x+5)= =x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).

28 Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов. Уважение к минувшему – вот черта, отличающая образованность от дикости. А.С. Пушкин Решение методом выделения полного квадрата 658 пример результаты

29 ПРИМЕР Доказать, что для любого натурального числа n выражение n 3 +3n 2 +2n делится без остатка на 6. Попробуйте его решить

30 Посмотрите, как легко это можно сделать Пусть p(n) = n 3 +3n 2 +2n. Если n=1, то p(1)=1+3+2=6. Значит, p(1) делится на 6 без остатка. Если n=2, то p(2)=2 3 +3·2 2 +2·2=8+12+4=24. Следовательно, и p(2) делится на 6 без остатка. Если n=3, то p(3)=3 3 +3·3 2 +2·3= =60. Поэтому и p(3) делится на 6 без остатка. Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы. Имеем: n 3 +3n 2 +2n=n(n+1)(n+2). В самом деле n(n+1)= n 2 + n, а (n 2 +n)(n+2)=n 3 +2n 2 +n 2 +2n=n 3 +3n 2 +2n. Итак, p(n) = n(n+1)(n+2), т.е. p(n) есть произведение трех идущих подряд натуральных чисел n, n+1, n+2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел – четное, т.е. делится на 2. Итак, p(n) делится и на 2, и на 3, т.е. делится на 6. Все прекрасно, скажите вы, но как догадаться, что n 3 +3n 2 +2n= n(n+1)(n+2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители.

31 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Мы научились использовать комбинацию различных приемов при разложение многочлена на множители. Попытались выработать план применения на практике. Мы научились использовать комбинацию различных приемов при разложение многочлена на множители. Попытались выработать план применения на практике. При разложении многочлена на множители мы использовали следующие способы: При разложении многочлена на множители мы использовали следующие способы: 1) вынесение общего множителя за скобки; 2) группировка, в том числе с использованием предварительного преобразования; 3) использование формул сокращенного умножения; 4) выделение полного квадрата; 5) комбинирование различных приемов.

32 Если вы получили оценку: Домашнее задание , 654, 648(в,г) , 642, 643 I уровень Дополнительное задание: Составить 8 примеров для математической эстафеты по теме урока. II уровень