Эффективные методы решения неравенств с одной переменной ( типовые задания С 3) МБОУ « СОШ 6» г. Нефтеюганска Учитель математики Юрьева Ольга Александровна. - презентация

1 Эффективные методы решения неравенств с одной переменной ( типовые задания С3) МБОУ « СОШ 6» г. Нефтеюганска Учитель математики Юрьева Ольга Александровна

2 При решении иррациональных, показательных и логарифмических неравенств в задании С3, в различных сборниках, тренировочных вариантах ЕГЭ используются, в основном, стандартные методы решения, которые, иногда, трудоемки и занимают много времени. Метод рационализации позволяет упростить и сократить время решения данных неравенств. Этот метод заключается в замене сложного выражения на более простое, равносильное данному на области определения, выражение. Использование данного метода не только упрощает решение, но и сокращает количество ошибок и увеличивает число учащихся, приступающих и решивших задание С3.

3 Правило 1. Если g(x)0, то знак разности совпадает со знаком разности f(x) - g²(x) в ОДЗ. Пример 1: Решить неравенство Решение. Запишем неравенство в виде Заменим неравенство равносильной системой используя метод рационализации Ответ: (-2;0] U [6;+)

4 Правило 2. Знак разности совпадает со знаком разности f(x) - g(x) в ОДЗ. Пример 2: Решить неравенство Решение. Запишем неравенство в виде Заменим неравенство равносильной системой используя метод рационализации

5 Более сложные неравенства Так как при g(x)0, знак разности совпадает со знаком разности f(x) - g²(x) в ОДЗ, то получаются условия равносильности: 1)если g(x)0, то ОДЗ 2) если g(x) <0, то h (x) < 0 Правило 3.

6 Так как знак разности совпадает со знаком разности f(x) - g(x) в ОДЗ, то ОДЗ Правило 4.

7 Правило 5. Знак разности совпадает со знаком произведения Правило 6. Для любой функции h(х) имеет место условие равносильности Метод рационализации для показательных неравенств ОДЗ

8 Пример 3. Решить неравенство : Решение. Ответ: (0;1];(2;+ ) Запишем неравенство используя метод рационализации в виде

9 Правило 6. Для любой функции h(х) имеет место условие равносильности ОДЗ

10 Пример 4. Решить неравенство: Решение. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Задача 53 1 Ответ: Запишем неравенство в виде

11 D= = 4 t =

12

13 Пример 5. Решить неравенство: Решение. Перепишем неравенство в виде Применим метод рационализации

14 2t 2 -7t+3=0 D=49-4·2·3=49-24=25 Рассмотрим числитель дроби, введем замену, решим полученное квадратное уравнение Рассмотрим знаменатель дроби, представим числа 2 и 1 в виде степени числа 3

15 1 0 х _ _ Ответ: На числовой прямой обозначим все полученные точки, учитывая результаты оценки

16 Метод рационализации для логарифмических неравенств Знак разности совпадает со знаком произведения в ОДЗ. Знак совпадает со знаком произведения (a-1)(f(x)-1) в ОДЗ. ( a-1)(f(x)-g(x)) Правило 7 Правило 8

17 Метод рационализации для логарифмических неравенств Решение неравенств вида сводится к решению неравенства в ОДЗ Правило 9 Правило 10 Решение неравенств вида сводится к решению неравенства в ОДЗ

18 Пример 7. Решить неравенство: Ответ: Решение. Область определения неравенства задается системой Запишем неравенство используя метод рационализации в виде

19

20 Пример 8. Решить неравенство: > 0 Решение. Найдем область определения неравенства

21 Знак совпадает со знаком произведения (a-1)(f(x)-1) в ОДЗ. Правило 7

22 > 0 Ответ: С учетом области определения

23 Пример 9. Решить неравенство: Решение.

24

25 Ответ:

26 Пример 10. Решить неравенство : Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Задача 52

27 Решение: Ответ:

28 Пример 11. Решить систему неравенств:

29 Решение. Решением неравенства является множество: Рассмотрим первое неравенство системы.

30 Ответ: Рассмотрим второе неравенство системы. Найдем область определения неравенства. Решением исходной системы является множество

31 Пример 12. Решить систему неравенств:

32 (7-x-1)(x+2-3+x) 0, (6-x)(2x-1) 0, Решение. Рассмотрим первое неравенство системы. Найдем область определения неравенства.

33 32·9 x 60·3 x -7, 32·3 2x - 60·3 x +7 0, 32t 2 -60t x =t, где t>0 Пусть Рассмотрим второе неравенство системы. Решением неравенства является множество Ответ:

34 Пример 13. Решить систему неравенств: Решение. Область определения неравенства задается системой

35 Рассмотрим первое неравенство системы Решением неравенства является множество:

36 Рассмотрим второе неравенство системы Решением неравенства является множество:

37 Ответ: Учитывая полученные промежутки, записываем ответ

38 Пример 14. Решить систему неравенств: Решение. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Задача 115 Область определения неравенства задается системой

39 Рассмотрим первое неравенство системы Решением неравенства является множество:

40 Рассмотрим второе неравенство системы Решением неравенства является множество: Решением системы является множество: Ответ:

41

42

43 Литература: 1.Колесникова, С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Айрис- пресс 2004 г. 2.Прокофьев, А.А., Корянов, А.Г. Математика ЕГЭ 2011, 2013 Системы неравенств с одной переменной. 3. Материалы ЕГЭ 2011, 2012, 2013 гг.