Зачем в школе изучают логарифмы? Логарифмы в искусстве. - презентация

1 Зачем в школе изучают логарифмы? Логарифмы в искусстве

2 Вступление Основные свойства логарифмов позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления. И даже помогают писать картины и играть музыкальные произведения и сейчас мы это вам докажем.

3 Определение логарифма Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a1,называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b; таким образом a loga b =b

4 Логарифмы в музыке Музыканты редко увлекаются математикой; большинство их, питая к этой науке чувство уважения, предпочитает держаться от неё подальше. Между тем музыканты – даже те, которые не проверяют, подобно Сальери у Пушкина, «алгеброй гармонию», соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с таким страшными вещами, как логарифмы.

5 Приведем по этому поводу отрывок из статьи покойного физика профессора А. Эйхенвальда. «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. «Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой»

6 Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах… И действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам воли соответствующих звуков, а представляют логарифмы этих величин. Только основание их равно 2, а не 10,как принято в других случаях.

7 Положим, что нота do самой низкой октавы – будем её называть нулевой октавой – определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будем делать в секунду 2n колебаний а m-й октавы колебаний и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон do каждый октавы за нулевой; тогда, например, тон sol,будет 7-й, la, будет 9-й и т.д. 12-й тон будет опять do, только октавой выше. Положим, что нота do самой низкой октавы – будем её называть нулевой октавой – определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будем делать в секунду 2n колебаний а m-й октавы n х 2 m колебаний и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон do каждый октавы за нулевой; тогда, например, тон sol,будет 7-й, la, будет 9-й и т.д. 12-й тон будет опять do, только октавой выше.

8 Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий, тон имеет в ¹²2 большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой N pm = n x 2 m ( ) p

9 Логарифмируя эту формулу, получаем Или А принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n=1) и переводя все логарифмы к основанию равному 2 имеем

10 Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы числе колебаний соответствующих звуков. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве – мантиссу этого логарифма».

11 Например, - поясним от себя, - в тоне sol третьей октаве, т.е. в числе 3 + 7/12 (3,583), число 3 есть характеристика логарифма числа колебаний этого тона, а 7/12(0,583) – мантисса того же логарифма при основании 2; число колебаний, следовательно, в, т.е. в 11,98, раза больше числа колебаний тона do первой октавы.

12 Логарифмы в живописи Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали: «…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью стала картина Вермера «Кружевница», репродукция которой висела в отцовском кабинете. Став постарше, я попросил в Лувре разрешения написать копию с этой картины.

13 Потом я попросил киномеханика показать на экране репродукцию нарисованной мной копией… Я объяснил, что, пока не написал эту копию, в сущности, почти ничего не понимал в «Кружевнице», и мне понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец, что я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические кривые…»

14 И напоследок… Логарифмы окружают нас повсюду: в природе, искусстве, технике, сельском хозяйстве. Поэтому их просто необходимо изучать в школе.

15 Авторы проекта: Боголь Аня Воронина Оля Денисова Ксюша Дата создания: 30 января 2008 год. Преподаватель: Пивоварова Н. Ю.

16