Функциональные уравнения и методы их решений Калинина Елена Петровна Учитель математики МОУ Гимназия 5 Г. Саратов. - презентация

1 Функциональные уравнения и методы их решений Калинина Елена Петровна Учитель математики МОУ Гимназия 5 Г. Саратов

2 Введение Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Примерами подобных уравнений могут являться уравнения вида (1)

3 Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это Они задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность…

4 1. Параметризуемые уравнения Функциональные уравнения, в которых требуется найти решение в классе функций из некоторого параметрического семейства, называются параметризуемыми.

5 Пример: Постановка задания Существует ли линейная функция у = f(x), удовлетворяющая при всех х соотношению 2f(x + 2) + f (4 - x)= 2 х + 5? Решение По определению, линейная функция это функция, которая представима в виде f(x) = kx + b. Числовые параметры k и b однозначно характеризуют линейную функцию, так как равенство при всех значениях переменной х равносильно равенствам,. Этот факт является частным случаем следующего важного утверждения, которое мы будем неоднократно использовать:

6 Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной (в частности, совпадают и степени многочленов).

7 Поэтому нашу задачу можно переформулировать следующим образом: существуют ли числа k и b такие, что при всех х верно равенство (3) 2(k(x + 2)+b) + (k (4 - х)+b)= 2 х + 5? Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим kx + 8k + 3b = 2 х + 5 при всех х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной, мы преобразуем задачу к виду: существуют ли числа k и b такие, что верны равенства (4) В этом виде задача просто сводится к вопросу о совместности системы (4). Легко видеть, что эта система имеет единственное решение k = 2, b = -11/3. Итак, существует и притом единственная линейная функция f(x) = 2 х-11/3, удовлетворяющая исходному функциональному уравнению.

8 2. Общие функциональные уравнения Решим предыдущий пример в общем виде. Заменим х на х – 2. Тогда уравнение (1) примет вид (5) 2f(х)+ f(6 - х) = 2 х + 1 при всех х. Это равенство можно рассматривать как обычное уравнение относительно двух неизвестных А = f(x) и B= f(6 - х); переменная х в этом случае будет играть роль параметра: 2А + В = 2 х+ 1.

9 Поскольку у нас две неизвестные величины, хотелось бы получить еще одно уравнение относительно А и В. С этой целью заменим в равенстве (5) х на 6 - х (ведь оно верно при всех значениях х; поэтому вместо х можно ставить любое число или выражение): 2f(6 - х) + f(x) = -2 х + 13 при всех х. В терминах переменных А = f(x) и В=f(6 - х) это равенство означает, что 2В+А = -2 х+ 13. Итак, справедлива система Исключая из этих равенств В = f(6 - х), получим А =f(x) = 2 х -11/3.

10 3. Классические функциональные уравнения В математике есть несколько типов относительно простых функциональных уравнений, решения которых хорошо известны каждому математику. Самым простым из них является следующее уравнение для функций вида у = kx (оно рассматривалось еще Коши): f(x + у) = f(x) + f(y) (15) для всех действительных х.

11 Пример: Постановка задания Задана функция, причем (16) f(x + у) = f(x) + f(y) для всех рациональных чисел х и у. Известно, что. Найти. Решение Функции вида f(x) = kx удовлетворяют этому уравнению. Докажем, что никаких других решений уравнение (16) не имеет. Рассмотрим уравнение (16) при у = 0: f (x) = f(x) + f(0). Отсюда следует, что f (0) = 0. При у = -х уравнение (16) примет вид f (0) = f (x) + f (-x), откуда f(-x) = -f(x). Таким образом, всякое решение уравнения (16) является нечетной функцией. Положим в (16) у = х. Это даст следующее соотношение: при всех х Q. При у = 2 х получим: f (Зх) = f(x) + f(2x) = f(x) + 2f(x) = 3f(x) при всех х Q. Аналогично, при y = Зx из (16) имеем при всех х Q

12 Повторив эту процедуру, мы получим, что для любого натурального п верно равенство (при п = 1 оно является тождеством): f (nх) = n f (х) (17) при всех х Q. Строго это можно доказать методом математической индукции. Справедливость равенства (17) при п = 1 (основание индукции) уже установлена. Допустим, что (17) доказано для некоторого натурального k; докажем его справедливость для значения п = k + 1: f ((k + 1) x) = f (k + х) = f (k x) + f (x) = = kf(x) + f(x) = (k + 1) f (x). Из нечетности функции f(x), которую мы установили в самом начале нашего решения, следует, что равенство (17) верно при всех целых п (а не только натуральных). Мы уже можем решить исходную задачу в том виде, как она была поставлена на экзамене. Поскольку 10 = (-35), из (17) при п = -35, х = имеем f (10) = -35 f, так что Но мы двинемся дальше и докажем, что на самом деле верно соотношение (18) при всех х Q, где г произвольное рациональное число.

13 Положим в (17) х=. Отсюда, так что (18) справедливо для. Если в этом равенстве положить t = mх, m Z, то, используя (17), мы получим:, то есть (18) справедливо для любого рационального г. В частности, при х = 1 (18) даст f(r) = rf (1). Если обозначить f (1) через k, а вместо переменной r использовать переменную х, то это соотношение можно записать в виде (19) f(x)=kx. Таким образом, если функция f(x) является реше­нием уравнения (16), то она дается формулой (19). Теперь вернемся к исходной задаче. Так как f (10) = k 10, мы можем определить коэффициент пропорциональности. Поэтому f(x) = х для рациональных х и, в частности,. Ответ:

14 В более сложных задачах уравнение (15) f(x + у) = f(x) + f(y) может быть «спрятано», и нужны определенные преобразования (обычно вводится новая неизвестная функция), чтобы свести дело к этому классическому уравнению.

15 4. Примеры решения функциональных уравнений методом подстановки. Пример 1. Найти f(x) Решение 1) Пусть тогда 2) Подставим в исходное уравнение, получим 3)Заменим z на получим или после преобразований в правой части уравнения:

16 4)Итак, получили два уравнения: 5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим: Тогда

17 Пример 2. Найти x, если Решение Рассмотрим уравнение: Получим: Если функция нечетная то -f(3x)=f(-3x) Проверим: -нечетная Значит f(2x+1)=f(-3x) 2x+1=-3x x=-1/5

18 Пример 3. Решите неравенство: Решение Сначала решим уравнение: Преобразуем уравнение: выделим полный квадрат f(2x-1)= -f(x) f(2x-1)= f(-x) 2x-1=-x x=1/3 Вернемся к решению неравенства: построим графики функций и найдем значения х, при которых f(2x-1)>f(-x) Слайд 19 Слайд 19 Получим: x>1/3 Ответ: Слайд 20

19

20 Пример 4. Решить неравенство: если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе Решение Умножим второе уравнение на -1 и сложим с первым 1)Выразим из первого уравнения g(x-1): Найдем g(x). Введем замену x-1=t => x=t+1 Получим

21 2)Вернемся к системе: Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым: Получим: Введем замену Получим:

22 Решим неравенство: Ответ:

23 Список литературы Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999 Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, – 96 с Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, 2, с. 116 – 120 Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, – 160 с Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов - М: Просвещение, 1991 г. Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М: Просвещение, 1978 г.