Правильная треугольная пирамида, вписанная в шар АQ = ВQ = CQ = SQ= R – радиус шара. AO = BO = CO = r – радиус круга, описанного около основания пирамиды. - презентация

1

2 Правильная треугольная пирамида, вписанная в шар АQ = ВQ = CQ = SQ= R – радиус шара. AO = BO = CO = r – радиус круга, описанного около основания пирамиды. SO = H – высота пирамиды. SЕ = h – апофема пирамиды. P E T C A B R r H O S Q

3 Треугольная пирамида, описанная около шара E 1 Q = OQ = TQ = R – радиус шара. EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды. A B C O S P E Q E1E1 T r E1E1 E O Q S R R r r SO = H – высота пирамиды. R

4 Правильная четырехугольная пирамида, вписанная в шар AQ = BQ = CQ = DQ = = SQ = R – радиус шара. AO = BO = CO = DO = r радиус круга, описанного около основания пирамиды. SO = H – высота пирамиды. SЕ = h – апофема пирамиды. P E D C A B R r H O S Q

5 A B C O S D E Q E1E1 M P P1P1 Четырехугольная пирамида описана около шара E 1 Q = P 1 Q = OQ = R – радиус шара. EO = PO = r – радиус круга, вписанного в основание пирамиды. SO = H – высота пирамиды. R EP S E1E1 P1P1 O r

6 Шар, вписанный в конус A L S O A F K RкRк RшRш H RшRш rсrс OсOс RшRш B O F S OсOс K H RкRк L rсrс RшRш RшRш H - R ш = RкRк L Центр – точка пересечения высоты конуса и биссектрисы угла между образующей конуса и плоскостью основания (F).

7 RшRш RшRш RкRк O F L S H K Шар, описанный около конуса RкRк A RшRш RшRш S OA F K RшRш LRкRк KF Центр – точка пересечения высоты конуса и серединного перпендикуляра к образующей конуса (F).

8 Шар, вписанный в цилиндр F RшRш O RцRц H D C B A RцRц RшRш = Центр – середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра.

9 Шар, описанный около цилиндра F RшRш RцRц O H Rц 2Rц 2 +=Rш 2Rш 2 Центр – середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра.

10 В СФЕРУ РАДИУСА R ВПИСАНА ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА. П ЛОСКИЙ УГОЛ ПРИ ВЕРШИНЕ ПИРАМИДЫ РАВЕН ϒ.Н АЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ. П РИ КАКОМ ЗНАЧЕНИИ ϒ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ БУДЕТ НАИБОЛЬШЕЙ ? Решение. Пусть NABCD – правильная четырёхугольная пирамида, NH – её высота, MN – диаметр описанной сферы. Обозначим длину бокового ребра пирамиды через b, имеем S бок =2b 2 sin ϒ. Выразим площадь боковой поверхности пирамиды S бок как функцию угла ϒ.Применим способ введения вспомогательного угла. Пусть NAH =α и S бок =8R 2 sin 2 αsin ϒ. Воспользуемся формулой cos α= sin : cos α= Получим sin 2 α=1 – cos 2 α=1 - 2sin 2 = cos ϒ. Следовательно S бок =8R 2 sin ϒ cos ϒ =4R 2 sin2 ϒ. Наибольшее значение S бок равно 4R 2 при ϒ =45°.

11 A B C O S D P Q P1P1 В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар, объем которого 32 /3. Найдите объем пирамиды, если её высота равна 6. Решение. 1) тогда 2) 3) SP 1 Q – прямоугольный, 4) SP 1 Q SOP ( Р 1 = О=90, S – общий), откуда 5) Тогда сторона основания пирамиды вдвое больше, и равна 6)

12 В шар, объём которого, вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите объём пирамиды, если её боковое ребро равно, а высота больше радиуса шара. D C A B O S Q Решение. 1) тогда 2) Пусть OQ = x, тогда из AOQ выразим сторону АО: x 3) Составим теорему Пифагора для ASO: Откуда находим OQ = 4. 4) Тогда SO = 5+4=9, 5) В основании пирамиды квадрат, со стороной a, равной 6) и АО = 3.

13 Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100. Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6. Найдите радиус основания конуса. Решение. A B O S О1О1 РО2О2 1) C = 2 r = 6, тогда r = O 2 P = 3. 2) S сферы = 4 R 2 =100, тогда R = O 1 P = 5. 3) Из O 1 O 2 P по теореме Пифагора находим: 4) В O 1 PS отрезок РО 2 высота, проведенная из вершины прямого угла, значит 5) Найдем высоту конуса SO= SO 2 +O 2 O 1 +O 1 O = 2, = 11,25. 6) SО 2 Р SOВ ( О 2 = О=90, S – общий), откуда

14 O S О1О1 Р Р1Р1 В конус с образующей 6 6 и высотой 12 вписан куб. Найдите объём куба. Решение. 2) a – сторона куба, тогда 3) Выразим через a: 4) SО 1 Р 1 SOР ( О 1 = О=90, S – общий), откуда a = 6. 1) Из прямоугольного SOP находим: 5) V куба = a 3 = 6 3 = 216.

15 Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 10. O S О1О1 Р Р1Р1 Решение. 1) Обозначим радиус шара r, а радиус основания конуса R. 2) По условию т.е. 3) SP 1 O 1 SOP ( Р 1 = О=90, S – общий), откуда SO 1 = 5, 5) Тогда коэффициент подобия треугольников k = ½. откуда r = 3. 4) Заметим, что РР 1 = 2r, SP 1 = 10 – 2r, SO = 5+r.