ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Учитель Жданова О. А. МКОУ СОШ 1 г.Лиски 10 класс. - презентация

1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Учитель Жданова О. А. МКОУ СОШ 1 г.Лиски 10 класс.

2 Устный счет 1) Вычислите: arcsin (-1/2) ; arсcos (-1/2 ) ; arctg (-1) ; arcctg (-1/3) ( сформулировать определения) 2) Решите уравнения : sin х = 0 ; tg х = 2; cos х = 1; sin х =1,5 3)Выясните будет ли уравнение иметь корень а) 2 sin 3 х +4 sin = 7 б) 2 cos 3 х+ 4 sin = -8 4) Найдите ошибку: а) sin х =1 = 0 sin х =-1 х = 3/2π +πn,nЄ Z. б) 2 cos х-1=0 2 cos х=1 х = π /3 +2 π n, nЄ Z Поясните, где допущена ошибка.

3 Тест 1 Решите уравнения: sin x =-12 sin x =12 cos3x =32 cos3x =-32 sin(x-π3) =-1 sin(x-π3) =1

4 Варианты ответов 1.1)(-1)π/6+πn;,nЄz 3. 1)-5/6π+2π n 2)(-1) π/6+2πn;,nЄz 2)-π/6+2 π n 3) (-1)¹π/6+πn;,nЄz 3) -π/6+ π n 4) π/6+2πn;,nЄz 4)5/6 π+2 π n 2.1)±10+120n,nЄz 2) n,nЄz 3) n,nЄz 4) ± n,nЄz

5 Определите тип уравнения или укажите способ решения данного уравнения. 1) 2sin²x + cos²х = 5 cos х sinx 2) cos х sin7 x = cos х sin 5x 3) sin² х +cos²2 х +sin²3x = 3/2 4)sin²x -2sinx -3=0 5)sin х + sin3x = sin5x - sin x 6)2cos² х + 3sin² х + 2cos х =0 7) 2 tg х – 2 сtg х =3 8) sinx - cos х =1

6 Тема: «История, возникновение тригонометрии»

7 Тригонометрия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, ), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.греч.треугольник греч.математики тригонометрические функции геометрии

8 Древняя Греция Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась изучалась как один из отделов астрономии. Насколько известно: способы решения треугольников (сферических) первые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.

9 Индия В Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые используются в современной науке.

10 Индийцы также знали: Формулы для кратких углов sin na, cos na, где n=2,3,4,5. Первая таблица синусов «Сурья-сиддханте» у Ариабхаты. Она приведена через 3,45. Позднее ученые составили более подробные таблицы: например Бхаскара приводит таблицу синусов через 1. Южноиндийские математики в 16 веке добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа П. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18

11 Аравия. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль- Батани ( ) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед ( ), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10 с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед ( ). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

12 Европа Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника ( ) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге ( ) и Иогана Кеплера ( ), а также в работах математика Франсуа Виета ( ), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

13 Россия Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга.

14 История понятия синуса В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива.

15 История понятия косинуса Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. дополнительный синус (или иначе синус дополнительной дуги; cos( = sin( 90( - ()).

16 История развития тангенса и котангенса Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль- Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он и доказал теорему тангенсов.

17 Практическое применение тригонометрии Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

18 Прикладная направленность тригонометрических уравнений. Спортсмен на соревнованиях, проходивших в Осло, послал копье на 90 м 86 см. На каком расстоянии приземлилось бы копье, если оно было пущено с такой же скоростью и под тем же углом к горизонту в Токио? Сопротивлением воздуха пренебречь. Условия свободного падения в Осло 9,819 м\, а в Токио 9,798 У g v x

19 Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона. Определите коэффициент трения. y Fт р N X mg

20 Решите уравнения 2 sin ²x - cos x-1=0 sin 2 х =cos x 3sin² x+5sinxcosx+2cos²x=0 2cos²x-1- sin x =0 1+cosx + cos2x =0 4sin²x-5sinx cos x +cos²x= 0 |sin x|=sinx+2cosx |sin x- 22| = cos x-22