Лекция 5 Динамика дифференциальных уравнений. Уравнение линейного гармонического осциллятора Интегрирование в квадратурах Период движения линейной системы. - презентация

1 Лекция 5 Динамика дифференциальных уравнений

2 Уравнение линейного гармонического осциллятора Интегрирование в квадратурах Период движения линейной системы Нелинейный осциллятор Осциллятор с затуханием Интегрирование нелинейных уравнений 2-го порядка Понятие фазовой плоскости. Динамика Фазовая траектория затухающего гармонического осциллятора Неавтономные системы

3 Уравнение линейного гармонического осциллятора постоянные интегрирования можно найти из начальных условий:

4 Интегрирование в квадратурах

5 Решение было получено в 4 этапа: идентификация интеграла движения; использование интеграла движения для понижения порядка дифференциального уравнения; интегрирование в явном виде, то есть в квадратурах; обращение, приводящее к однозначному решению.

6 Период движения линейной системы период не зависит от энергии (то есть от начальных условий) – результат для линейных систем!

7 Нелинейный осциллятор (нелинейная возвращающая сила)

8 Осциллятор с затуханием Можно ли систему уравнений представить в полностью интегрированном виде?

9 Интегрирование нелинейных уравнений 2-го порядка Если нелинейность не превышает, то задача может быть решена в «явном виде» в терминах эллиптических функций

10 Рассмотрим уравнение: Правая часть может быть факторизована: Канонический вид Лежандра:

11 Эллиптические интегралы 1-го рода В пределе k=0 После преобразования

12 Понятие фазовой плоскости. Динамика Переменные x,y (где y=dx/dt) – две независимые переменные определяют пространство, в котором «движется» решение. Так как фазовое пространство в данном случае двухмерное, то используют термин фазовая плоскость. Каждую из переменных можно рассматривать как независимою переменную, соответствующую n-мерному фазовому пространству. Любому решению уравнения движения отвечает гладкая кривая в фазовом пространстве. Так как фундаментальным свойством решения дифференциальных уравнения является их однозначность, то различные фазовые траектории не пересекаются

13 Рис. Фазовые траектории обыкновенного гармонического осциллятора

14 Пример: Осциллятор с затуханием

15 Фазовая траектория затухающего гармонического осциллятора

16 Неавтономные системы В пределе система становится автономной. Если, то двухмерное фазовое пространство (при ) становится трехмерным за счет дополнительной размерности – времени t