Симметрия в многогранниках. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или. - презентация

1 Симметрия в многогранниках

2 Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника.

3 Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.

4 Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р - угольной призмы. Пусть l – прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг l на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией.

5 Пусть, далее, p – плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости p (движение, переводящее любую точку P в точку P ¢, такую, что p пересекает отрезок PP ¢ под прямым углом и делит его пополам) – еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости p с поворотом вокруг прямой l, мы получим еще одну симметрию.

6 Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой l есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих l и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов.

7 Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае – обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой – прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия.

8 Если кубический кристалл NaCl повернуть на 90° вокруг оси, проходящей через центры противоположных граней, кристалл совместится с исходным положением. При полном повороте вокруг оси на 360° кристалл NaCl совместится с исходным положением четырежды (рис. 1). Поэтому кубический кристалл NaCl обладает тремя осями симметрии четвертого порядка (они показаны на рисунке), а также четырьмя осями третьего порядка (объемные диагонали куба) и шестью осями второго порядка (они проходят через центры противоположных ребер).

9 Рис. 1. У кубического кристалла поваренной соли три взаимно перпендикулярные оси симметрии четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка.

10 На рисунке 3 мы видим пример другой, зеркальной симметрии: левая половина рисунка совмещается с правой, как предмет со своим отражением в зеркале. Вместо оси симметрии здесь существует другой элемент симметрии - плоскость симметрии. На рисунке 2 плоскость симметрии пересекает плоскость рисунка по линии, делящей рисунок вертикально. Плоскости симметрии есть и у кристалла NaCl.

11 Рис. 2. Плоскость симметрии (зеркало) перпендикулярна поверхности кадра и делит ее пополам. Отражение в зеркале симметрично с фигурой девочки, стоящей на палубе.

12 В некоторых кристаллах наблюдается еще один вид элементов симметрии - центр инверсии, или центр симметрии. Он делит пополам прямые, которые соединяют противоположные, равные, параллельные, но обратно направленные (антисимметричные) части фигуры (рис. 3).

13 Рис. 3. Центр инверсии (симметрии).

14 На рисунке 4 показан кристалл анортита, имеющий только центр симметрии. Для наглядности две антисимметричные грани даны голубым цветом. (Центр симметрии есть и в кристалле NaCl.) Понятие антисимметричных фигур широко используется в физике.

15 Рис. 4. Кристалл анортита.

16