Использование симметрии аналитических выражений в решении задач с параметрами. Учитель математики МАУ ШИЛИ г.Калининград Труфанова Елена Анатольевна. - презентация

1 Использование симметрии аналитических выражений в решении задач с параметрами. Учитель математики МАУ ШИЛИ г.Калининград Труфанова Елена Анатольевна

2 Симметрия относительно х=у, х=-у.

3 ЗАДАЧА 1. При каком значении параметра а система уравнений имеет единственное решение? Найти это решение.

4 1 этап решения Заметим, что если пара является решением системы, то пара также является решением системы, тогда

5 2 этап решения Ответ: При а=6, (3;3), при а =-6 (-3;-3).

6 ЗАДАЧА 2 При каком значении параметра m система уравнений имеет единственное решение?

7 Решение: Пусть тогда Если - решение системы, то также решение системы, тогда

8 Ответ: m=0,m=2.

9 ЗАДАЧА 3 Найдите все значение параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.

10 Решение: Заметим, что если пара является решением системы, то пара также является решением системы, тогда Ответ:.

11 ЗАДАЧА 4 Найти все значения параметра а, при которых система имеет единственное решение.

12 Решение: Перепишем второе уравнение системы в виде тогда и решения системы.

13 Из третьего уравнения, тогда из второго уравнения получим Перепишем второе уравнение системы из третьего уравнения, тогда Ответ: а=1.

14 Задание для самостоятельного решения. 1)При каком значении параметра а система уравнений имеет единственное решение? Найти это решение. 2)Найти все значения параметра р, при которых система имеет единственное решение.

15 Симметрия относительно х=0 (у=0).

16 ЗАДАЧА 5. При каких значениях параметра р уравнение имеет единственное решение? Решение. Если x 0 - решение уравнения, то и - x 0 также решение этого уравнения, тогда x 0 =0 При р=0, При р=tg1,, Ответ :

17 ЗАДАЧА 6. При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение? Решение., - решения системы, тогда (0;-1), (1;0), (-1;0). Ответ: а=2.

18 ЗАДАЧА 7 Найти все значения параметра а, при которых неравенство имеет единственное решение Решение. неравенство верно при любых х. Ответ: а=2.

19 ЗАДАЧА 8 Найти все значения параметра а, при которых система имеет единственное решение.

20 Рассмотрим величины и.

21 При а=1

22 При а=2 Ответ: а=-1,а=2.

23 ЗАДАЧА 9 Найдите все значения параметра а и b, при которых система имеет ровно одно решение.

24 Решение: Пусть тройка чисел является решением системы, тогда тройки,, также являются решениями

25

26

27 Задача для самостоятельного решения. 1)При каких значениях параметра с уравнение имеет единственное решение? 2)Найти все значения параметра а, при которых существует единственная пара (х;у), удовлетворяющая уравнению 3) Найти все значения параметра а, при которых система имеет единственное решение. 4) Найдите все значения параметра а, при которых система имеет только одно решение.

28 Комбинированные задачи.

29 ЗАДАЧА 10 Определить, при каких а система уравнений имеет в точности два решения.

30 Решение: Если -решение системы, то и пары также являются решением системы, тогда

31 При а=2,5 и Ответ: а=2,5.

32 ЗАДАЧА 11 Найдите значение параметра а, при котором система имеет ровно четыре решения.

33 Решение: Пусть,тогда если пара -решение системы, то и решение системы, поэтому или, тогда а=1.

34

35 ЗАДАЧА 12 Найти все значения параметра а, при которых системы уравнений равносильны: и

36 Решение: При а=4 первая система принимает вид В этом случае она не имеет решения (случай бесконечного множества решений отпадает). Вторая система при а=4 примет вид при а=4 системы равносильны.

37 Пусть первая система имеет решение, а вторая - и. Чтобы системы были равносильны, необходимо, чтобы.

38 При а=1 получаем 1) 2) Итак, при а=1 системы равносильны.

39 При а=-1 получаем 1) 2) при а=-1 системы не равносильны. Ответ: а=1.

40 ЗАДАЧА 13 При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение?

41 Решение:

42 Ответ: а=-2,25

43 Сложные виды симметрии

44 ЗАДАЧА 14 При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три решения?

45 Решение: Заметим, что тогда если - решение уравнения, то и также решение данного уравнения

46

47

48

49

50 ЗАДАЧА 15 Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

51 Решение: Пусть уравнение имеет решение, тогда также решение уравнения

52

53

54 Литература: Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи._М.: МЦНМО, 2007._296 с. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. _ М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005,-328 с. Газета 1 сентября, приложение «Математика», 1997 г.