БИНОМ НЬЮТОНА. Определение. Двучлен вида a+b называют биномом. - презентация

1 БИНОМ НЬЮТОНА

2 Определение. Двучлен вида a+b называют биномом.

3 Рассмотрим целые неотрицательные степени бинома a+b (при условии a+b0): (a+b) 0 =1, (a+b) 1 =1a+1b (a+b) 2 =1a 2 +2ab+1b 2 (a+b) 3 =1a 3 +3a 2 b+3ab 2 +1b 3 (a+b) 4 =1a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +1b 3 и т. д.

4 формула бинома Ньютона Числа называют биномиальными коэффи­циентами, которые могут быть найдены по фор­муле:

5 Например (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

6 треугольник Паскаля

7 Правило построения треугольника Паскаля: 1. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b) 0, поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу.

8 2. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: (a+b) 1 =a+b.

9 3. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»: a 2 +2ab+b 2.

10 4. Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения «куба суммы».

11 5. Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

12 Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени: (a + b) 6 =a 6 +6a 5 b + 15a 4 b 2 +20a 3 b a 2 b 4 +6ab 5 +b 6.

13 При записи разложения степени бинома полезно контролировать следующие моменты: 1. число членов получаемого многочлена на еди­ ницу больше показателя n степени бинома, т. е. равно n + 1; 2. показатели степени первого слагаемого бинома (a) последовательно убывают на единицу от n до 0, а показатели второго (b) последовательно возрастают на единицу от 0 до n; 3. биномиальные коэффициенты, равноудалённые от начала и конца разложения по формуле, рав­ ны между собой.