Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители. (8 класс) - презентация

1 Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители. (8 класс)

2 Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной

3 А. Нивен

4 Квадратный трехчлен Квадратичная функция Квадратные уравнения Разложение квадратного трёхчлена на множители Разложение квадратного трёхчлена на множители

5 КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

6 Многочлен ax²+bx+c, где а, в, с – числа (коэффициенты), причем а 0 называется квадратным трехчленом Причем: а – старший коэффициент, в - второй коэффициент с – свободный член

7 1) 2 х² - 6 х + 1 2) - 2 х² + 8 х – 5 3) 3 х² + 2 х 4)х² - 4 х + 7 5)- х² - 8 6)6 х² - х - 2 1)а =2; в = -6; с = 1 2) а =-2; в = 8; с = -5 3) а =3; в = 2; с = 0 4) а =1; в = -4; с = 7 5) а =-1; в = 0; с = -8 6) а =6; в = -1; с = -2

8 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

9 Функция у = ax²+bx+c, где а, в, с – произвольные числа, причем а 0 называется квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола

10 Ветви параболы у = ax²+bx+c направлены вверх, если а > 0, и вниз если а < 0 Как найти координаты вершины параболы? – абсцисса х вершины параболы вычисляется по формуле х = - в/2 а - ордината у вершины параболы вычисляется подстановкой найденной х в заданную функцию Осью симметрии параболы является прямая х = - в/2 а Запомним

11 1)у = 2 х² - 8 х + 1 2)у = - 2 х² +16 х – 5 1)Т.к. а =2 ; в =-8; с =1 то х = 8 : (2·2)=2 у= 2·2² - 8·2 + 1=-7 Значит: (2; -7) координаты вершины, а ось симметрии параболы: х=2 2) Т.к. а=-2; в=16; с=-5 то х = -16 : (2·(-2)) = 4 у = -2· 4² + 16·4 - 5 = 27 Значит: (4; 27) координаты вершины; ось симметрии: х=4

12 1) у = х² + 4 х + 5 2) у = 2 х² + 4 х 3) у = -3 х² + 6 х + 1 4) у = 3 х² - 12 х 5) у = х² + 6 х - 2 6) у = -2 х² + 8 х - 5 7) у = -4 х² - 8 х Проверим: 1) (-2; 1) 2) (-1; -2) 3) (1; 4) 4) (2; - 12) 5) (-3; - 11) 6) (2; 3) 7) (-1; 4)

13 1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

14 Квадратные уравнения

15 Определение квадратного уравнения Определение квадратного уравнения Классификация квадратных уравнений Классификация квадратных уравнений Способы решения квадратного уравнения Способы решения квадратного уравнения

16 Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где x - переменная, a, b, c – любые действительные числа, причем a0. (Почему?) Причем: а – старший коэффициент в - второй коэффициент с – свободный член

17 Квадратные уравнения Квадратные уравнения. неполное полное b = 0; x² + c = 0 ах² + b х + с = 0, а 0 c = 0; ax² + bx = 0 b = 0; c = 0; ax² = 0 приведённое x² + p x + q = 0, а=1

18 Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет. Причем: квадратное уравнение может иметь либо 2 корня (если D >0), либо 1 корень (если D = 0), либо вообще не иметь корней (если D <0)

19 Разложением на множители Выделением полного квадрата По формуле корней (универсальный способ)По формуле корней (универсальный способ) По теореме Виета По коэффициентам Графический Введение новой переменной

20

21 Вспомним: Например: х² + 6 х - 7 = 0. Решение: х² + 6 х -7 = 0. х² + 2 · 3 · х + 9 – 9 – 7 = 0 (х² + 6 х + 9) - 9 – 7 = 0 (х +3)² – 16 = 0. (х +3)² = 16. Значит: х +3 = 4 и х + 3 = -4. х = 1 х =-7. Ответ: 1; -7.

22 1)Найти число, называемое дискриминантом квадратного уравнения и равное D = b²- 4ac. 2) Дискриминант показывает сколько корней имеет уравнение - если D<0, то данное квадратное уравнение не имеет корней;

23 - если D=0, то данное квадратное уравнение имеет единственный корень, который равен - если D>0, то данное квадратное уравнение имеет два корня, которые равны

24 Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем D = b 2 - 4ac = (-5) = 9. Так как D=9 > 0, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле то есть x = 2 и x = 0,5 - корни заданного уравнения.

25 x 2 - 2x + 1 = 0. x 2 - 2x + 1 = 0. 2x 2 - 3x +5= 0. 2x 2 - 3x +5= 0. Проверим 1 уравнение: получили один корень х = 1, т.к. D = 0 Проверим 2 уравнение: уравнение не имеет действительных корней, т.к. D < 0

26 1) Выберите квадратные уравнения и определите значения их коэффициентов: А) 2 х² – 8 = 0; Б) -х² + 4 х + 1 = 0; В) 3 х³ + 2 х – 9 = 0; Г) 5 х – 3 х² +2 = 0; Д) х – 3 = 0; Е) 3 – 5 х² – х = 0; Ж) х² – х = 0. И) х² х = 0 2) По коэффициентам указать приведенные уравнения. 3) Из квадратных уравнений выбрать неполные и решить их.

27 1)Квадратные уравнения: А) 2 х² – 8 = 0, где а=2; в=0; с=-8 Б) -х² + 4 х + 1 = 0, где а=-1; в=4; с=1 Г) 5 х – 3 х² + 2 = 0, где а=-3; в=5; с=2 Е) 3 – 5 х² – х = 0, где а=-5; в=-1; с=3 Ж) х² – х = 0, где а=1; в=-1; с=0 И) х² х = 0, где а=1; в=-2; с=5

28 2) Приведенные квадратные уравнения: И) х² х = 0 3) Неполные квадратные уравнения: А) 2 х² – 8 = 0 и Ж) х² – х = 0 Решения: 2 х² – 8 = 0 и х² – х = 0 2(х² - 4)=0 х(х-1)=0 20; х² - 4 =0 х=0; х-1=0 х² = 4 х=0; х=1 х = ± 2

29 1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

30 Дано уравнение: Решение: Ответ:

31

32

33

34 1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

35 Теорема Виета: Если корни х и х приведённого квадратного уравнения х² + px + q = 0, то х + х = - p, а х · х = q. Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = - p, mn = q, то эти числа являются корнями уравнения х² + px + q = 0. Обобщённая теорема: Числа х и х являются корнями приведённого квадратного уравнения х² + px + q = 0 тогда и только тогда, когда х + х = - p, х · х = q.

36 Дано приведённое квадратное уравнение x²-7x+10=0 Решение Решение: методом подбора проверим числа 2 и 5. Их произведение равно 10 (т.е. свободному члену уравнения), а их сумма равна 7, (т.е. второму коэффициенту уравнения, но с противоположным знаком ) Значит эти числа и являются корнями данного уравнения. Ответ: 2 и 5

37 Решаем вместе: 1 ) х² - 15 х + 14 = 0 2) х² + 3 х – 4 = 0 3) х² - 10 х – 11 = 0 4) х² + 8 х – 9 = 0 Решить самостоятельно в парах: 1) х² + 8 х + 7 = 0 2) х² - 19 х + 18 = 0 3) х² - 9 х – 10 = 0 4) х² + 9 х + 20 = 0

38 1) х =-1 х =-7 2) х = 1 х = 18 3) х =-1 х =10 4) х =-4 х =-5

39 1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

40 1)Если сумма коэффициентов равна 0, т.е. а + в + с = 0, то х = 1 х = с/а. 2) Если а –в + с = 0, то х = -1 х = -с/а. 3) Если а = с, в = (а ² + 1), то х = –а = - с х = -1/а = -1 /с. 4) Если а = с, в = - (а² + 1), то х = а = с х = 1/а = 1/с

41 1)2 х² - 5 х + 3 = 0 т.к. а+в+с = = 2–5+3=0, то х=1, Х=3:2=3/2=1,5 Ответ: 1; 1,5 2)3 х² + 8 х + 5 = 0 т.к. а-в+с= = 3-8+5=0, то х= -1, Х= - 5:3= - 5/3 Ответ: -1; -5/3

42 3)- 4 х² + 17 х - 4 = 0 т.к. а = с и в = (а²+1), то х= -а = 4, Х= - 1/а = - ¼ Ответ: 4; -0,25 4)8 х² - 67 х + 8 = 0 т.к. а = с и в = -(а²+1), то х= а = 8, Х= 1/а = 1/8 Ответ: 8; 1/8

43 1) 3 х² + 4 х + 1 = 0, 2) 5 х² - 4 х – 9 = 0, 3) 6 х² + 37 х + 6 = 0, 4) 7 х² + 2 х – 5 = 0, 5) 13 х² - 18 х + 5 = 0, 6) 5 х² + х – 6 = 0, 7) 7 х² - 50 х + 7 = 0, 8) 6 х² - 37 х + 6 = 0, 9) 7 х² + 50 х + 7 = 0.

44

45

46

47 1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

48 Решение: преобразуем Пусть у = х² и у = 4 Построим эти графики в одной координатной плоскости Ответ: х = -2; х = 2

49 1 вариант 1) х² + 2 х – 3 = 0 2) - х² + 6 х – 5 = 0 3) 2 х² - 3 х + 1 = 0 2 вариант 1) х² - 4 х + 3 = 0 2) -х² - 3 х + 4 = 0 3) 2 х² - 5 х + 2 = 0

50 1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

51 Умение удачно ввести новую переменную – облегчает решение Например: надо решить уравнение (2 х+3)² = 3(2 х+3) – 2. а = 2 х + 3. Решение: пусть: а = 2 х + 3. Произведем замену переменной: а² = 3 а - 2. Тогда получим уравнение а² - 3 а + 2 = 0 и у него D > 0. Решим квадратное уравнение и получим: а = 1, а = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х: 1). если а = 1, то 2 х + 3 = 1 и тогда х = - 1; 2). если а = 2, то 2 х + 3 = 2 и тогда х = - 0,5 Ответ: -1; -0,5.

52 а) (х² - х)² - 14(х² - х) + 24 = 0; б) (2 х - 1) - (2 х - 1)² - 12 = 0 Проверим ответы: а) б)

53 1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

54 Разложение квадратного трехчлена на множители

55 Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет корни х и х, то квадратный трехчлен ax²+bx+c, раскладывается на множители следующим образом: ax²+bx+c= а·(х - х)(х - х).

56 1 вариант 1) х² - 11 х ) х² + 7 х ) - х² - 8 х + 9 4) 3 х² + 5 х - 2 5) -5 х² + 6 х вариант 1) х² - 2 х ) х² + 3 х ) - х² + 5 х - 6 4) 5 х² + 2 х - 3 5) -2 х² + 9 х - 4

57 1 вариант 1) (х-8)(х-3) 2) (х+3)(х+4) 3) – (х-1)(х+9) 4) 3·(х-1/6)(х+13/6) 5) -5·(х-1)(х- 0,2) 2 вариант 1) (х-5)(х+3) 2) (х-2)(х+5) 3) - (х-2)(х-3) 4) 5·(х+1)(х- 0,6) 5) -2·(х-½)(х-4)

58 Сегодня на уроке я запомнил… Сегодня на уроке я научился… Сегодня на уроке я узнал … Сегодня на уроке я выучил… Сегодня на уроке было интересно … Сегодня на уроке мне понравилось …

59