Тема урока. Теорема о трёх перпендикулярах. Решение задач. План работы на уроке : 1. Повторение. 2. Теорема о трёх перпендикулярах. 3. Применение теоремы. - презентация

1 Тема урока. Теорема о трёх перпендикулярах. Решение задач. План работы на уроке : 1. Повторение. 2. Теорема о трёх перпендикулярах. 3. Применение теоремы к решению задач на построение ; на доказательство ; на вычисление. 4. Заключение. Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе? (Платон)

2 1. Повторение. 1. Какое свойство квадрата изображено на рисунке? Сформулируйте его. α а α а 3. На каких рисунках прямая а перпендикулярна плоскости? α а β 2. Найдите на чертежах равные треугольники?

3 Теорема. П рямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. А α НМ а Дано : АН – перпендикуляр ; АМ – наклонная, а ϵ α, М ϵ а, а НМ. Доказать : а АМ. И обратно : Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции. Доказательство : Н М А То есть прямая а АМ, ч. т. д. 2. Теорема о трёх перпендикулярах. ( Прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМН ) Плоскость АМН : а НМ и а АН, значит, а ( АМН ).

4 Задача на построение Отрезок МС перпендикулярен плоскости равностороннего треугольника АВС. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой АВ. B А С М Дано: АВС – равносторонний, МС (АВС). Построить: МЕ АВ Е Построение: 1. АВС : проведём СЕ АВ. 2. Проведём МЕ. МЕ АВ – по теореме о трёх перпендикулярах.

5 Задача на доказательство O C1C1 D1D1 B1B1 A1A1 D C B A Дано: АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Доказать: АС ОВ 1Доказательство: ВВ 1 – перпендикуляр; ОВ 1 – наклонная; ОВ – проекция наклонной; АС – прямая (через основание наклонной) (Если АС ОВ, то АС ОВ 1 ) 1)АВСD – квадрат, значит, АС BD – по свойству диагоналей квадрата; 2) АС ОВ, значит, АС ОВ 1 – по теореме о трёх перпендикулярах, ч.т.д.

6 Задача на вычисление Расстояние от точки М до точки пересечения диагоналей квадрата ABCD со стороной 16 см равно 15 см. Найдите расстояния от точки М до сторон квадрата. DA B C М О К L МОК = MOL как прямоугольные по двум катетам. Значит, МК = МL.

7 A D C B O M K 15 8 Задача на вычисление Дано: АBCD – квадрат; АВ = 16 см; АСBD = О; МО (АВС); МО = 15 см. Найти: ρ(М, DC); ρ(M, AD); ρ(M, AB); ρ(M, BC). Решение 1) В DOC проведём высоту ОК; проведём МК. МО ОК, ОК DC, значит, по т. о 3 х перпендикулярах МК DC. Значит, МК = ρ(М, DC); 3) МОК – прямоугольный; МО = 15 см, ОК = 8 см (половина АD), по т. Пифагора: МК = МО 2 + ОК 2 = = 289 = 17 (см) Ответ. 17 см 2)Так как ABCD – квадрат, то ρ(М, DC)= ρ(M, AD)= ρ(M, AB)=ρ(M, BC).

8 Отрезок MN перпендикулярен плоскости прямоугольного АВС (N ϵ AB). Проведите через точку М перпендикуляры к прямым АС и ВС. C B A M N E F Найдите МЕ, если АВ = ВС = 12 м, N – середина АВ; MN = 8 м. 6 8

9 Какое слово или предмет возникают в вашем сознании, когда вы слышите слова: Точка, прямая, перпендикуляр - Расстояние Наклонная, проекция, перпендикуляр - Прямоугольный треугольник

10 Заключение Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе? (Платон) Теорема о трёх перпендикулярах К решению задач по геометрии Умение логически мыслить, сравнивать, обобщать, доказывать В учёбе В профессии В жизни В архитектуре, строительстве

11