Розв ׳ язування раціональних рівнянь вищих степенів Презентацію розробила Кулинич Лідія Йосипівна, вчитель математики Тинівської загальноосвітньої школи. - презентация

1 Розв ׳ язування раціональних рівнянь вищих степенів Презентацію розробила Кулинич Лідія Йосипівна, вчитель математики Тинівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Жашківського району

2 Мета: - Систематизація і узагальнення знань про рівняння вищих степенів, типи рівнянь, методи їх розв׳язування, - розвиток вміння робити висновки, мислити від конкретного до загального, - підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання.

3 Цілим раціональним рівнянням n-го степеня називається рівняння виду Якщо a 0 =1, то рівняння називається зведеним. Розвязування багатьох типів рівнянь вдається звести до розвязування цілих раціональних рівнянь. Повторимо основні теоретичні відомості Для алгебраїчних рівнянь вищих степенів не існує єдиного загального методу розвязування.

4 Основні поняття та теореми, що використовують при розвязуванні раціональних рівнянь з цілими коефіцієнтами. Теорема 1. Нехай задано рівняння : Якщо функцію f можна подати у вигляді добутку функцій кожна з яких має ту саму область визначення А, то множина розвязків рівняння (1) є обєднанням множин розвязків рівнянь Метод невизначених коефіцієнтів. Схема Горнера. Ділення многочленів «кутом».

5 Теорема Безу. Остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює значенню цього многочленна, якщо, тобто Число називається коренем многочлена, якщо Наслідок. Якщо число є коренем многочена Р(х), то цей многочлен ділиться на двочлен без остачі. Основна теорема алгебри. Теорема Вієта. Теорема. Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами має раціональний корінь ( ),то р є дільником вільного члена, а - дільником коефіцієнта при старшому члені Наслідок. Якщо коефіцієнт при старшому члені рівняння з цілими коефіцієнтами дорівнює 1, то всі раціональні корені цього рівняння (якщо вони існують) – цілі числа.

6 Методи розв'язування рівнянь вищих степенів

7 Розвязування рівнянь методом розкладання на множники. Знайдемо Раціональні корені рівняння. Раціональні корені рівняння потрібно шукати серед чисел і -корені рівняння. Понижуємо степінь рівняння. Знаходимо коефіцієнти за схемою Горнера. При x=-1 маємо таблицю: Одержуємо 3x 3 -11x 2 +9x-2=0

8 При / Одержуємо Можемо записати, що Отже, Відповідь :

9 Метод невизначених коефіцієнтів. Розвяжемо рівняння Рівняння не має раціональних коренів. Розвяжемо його використовуючи метод невизначених коефіцієнтів. Для цього подамо ліву частину у вигляді добутку двох квадратних тричленів. Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х: Розвяжемо систему в цілих числах Перевіримо або Одержуємо :

10 Тоді Звідки Відповідь:

11 Симетричні рівняння. Симетричними називається рівняння виду де, де Розвязати рівняння Розвязування : х=0 не є коренем даного рівняння. Поділимо обидві частини рівняння на Згрупуємо члени рівняння:

12 Введемо заміну: Маємо За теоремою, оберненою до теореми Вієта Одержуємо рівняння З них знаходимо Відповідь: Коли розвязуємо симетричне рівняння непарного степеня, то один корінь такого рівняння дорівнює -1. При ділення на х+1 це рівняння зводиться до симетричного рівняння парного степеня.

13 Зворотним рівнянням називають рівняння виду де-деяке фіксоване число і число. Якщо =1, з рівнянь (1) і (2) дістаємо симетричне рівняння відповідно парного та непарного степенів.

14 Розвязати рівняння Розвязування Це зворотне рівняння парного степеня, в якому Зробимо заміну то звідкиПоділимо обидві частини рівняння на Відповідь :

15 Метод спостережень Ейлер виділяв спостереження як один з методів дослідження чисел. Про цей метод не слід забувати, приступаючи до розвязування нестандартного рівняння. 1.Розвязати рівняння Розвязування Відповідь :

16 2.Розвязати рівняння Розвязування Відповідь:

17 3.Розв׳язати рівняння: Подамо як і згрупуємо перші й останні три доданки: Відповідь:

18 Рівняння виду Ці рівняння зводяться до простих шляхом заміни і подальшої заміни Розвязати рівняння Розвязування Заміна у=х+4 Тоді маємо рівняння Скориставшись формулою бінома Ньютона (при n=4) Звідки

19 Заміна За теоремою Вієта Повертаємося до заміни - коренів не має Відповідь:

20 Застосування похідної до розвязування рівнянь. Розвязати рівняння Розвязування Дослідимо функцію Похідна функції Критичні точки функції: існує на всій області визначення, на кожному з проміжків Зростає на проміжку Точка 0 не є точкою екстремуму функції. В точці х=1 функція набуває найменшого значення. то не може дорівнювати 0. Отже рівняння, коренів не має Відповідь :

21 Література: 1.Є.П.Нелін, О.Є.Долгова. Алгебра і початки аналізу.В, Світ дитинства, Ф.П.Яремчук, П.А.Рудченко. Алгебра і елементарні функції. В.Наукова думка, С.Т.Завало. Рівняння і нерівності. В.Радянська щкола, М.І.Шкіль,Т.В.Колесник, Т.М.Хмара. Алгебра і початки аналізу для поглибленого вивчення. В.Освіта, Ш.Г.Горделадзе, М.М.Кухарчук, Ф.П.Яремчук. Збірник конкурсних задач з математки.В.Вища школа, Збірник задач з математики для вступників до втузів. За редакцією М.І.Сканаві. В. Вища школа,1992.