Производные простых функций (х – независимая переменная) Производные сложных функций (u=u(х) – любая дифференцируемая функция) - презентация

1

2 Производные простых функций (х – независимая переменная) Производные сложных функций (u=u(х) – любая дифференцируемая функция)

3 1. Найти производную функции Проверка(2) Таблица производных

4 2. Найти производную функции Проверка(2) Таблица производных

5 3. Найти производную функции Таблица производных

6 Угловой коэффициент прямой Прямая проходит через начало координат и точку Р(3; -1). Чему равен ее угловой коэффициент? x 0 y Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид: P 33

7 2 4 k = -1 k = 0 k = 3 Найдите угловые коэффициенты прямых x 0 y k =0,5 Проверка(2) Сделай клик мышью по номеру графика

8 Касательная к кривой 0 y x I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I Точка касания

9 несколько бесконечно много Касательная к графику функции может иметь с ним несколько и даже бесконечно много общих точек (рис. 1). в точке касания Кроме того, может случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на другую (рис. 2). Рис.1 Рис.2

10 Геометрический смысл производной угловому коэффициенту Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. k – угловой коэффициент прямой (касательной) Касательная x y 0

11 Если угол наклона касательной острый, то тангенс положительный, а значит, производная положительна. Положительная производная 0 x y x0x0x0x0 К а с а т е л ь н а я

12 Если угол наклона касательной тупой, то тангенс отрицательный, а значит, производная отрицательна. Отрицательная производная 0 x y x0x0x0x0 К а с а т е л ь н а я

13 Если угол наклона касательной равен нулю, то тангенс равен нулю, а значит, производная равна нулю. 0 x y Нулевая производная x0x0x0x0 К а с а т е л ь н а я

14 Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, производная не существует. Производная не существует 0 x y не существует x0x0x0x0 Касательная Касательная

15 Выводы: существует можно только одну.Если производная функции в какой- либо точке существует, то это означает, что к графику функции в этой точке можно провести касательную, и притом только одну. не существует нельзя касательная вертикальна Если же производная в какой-либо точке не существует, то такой касательной провести нельзя или касательная вертикальна.

16 y=f(x) 0 1 y 1 x x0x0 острый tgα>0 tgα>0 f '(x 0 )>0 f '(x 0 )>0 f '(x 0 )= tg α = 6:2 = 3 f '(x 0 ) = tg α = 6:2 = 3 4. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найти значение производной в точке. 4. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найти значение производной в точке x 0.

17 01 y 1 x y=f(x) x0x0 тупой тупой tg α<0 f '(x 0 )<0 tg α = - tg β tg α = - 6/4 = = - 1,5 = f '(x 0 ) β 5. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найти значение производной в точке. 5. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найти значение производной в точке x 0.

18 0 y x x0x0 = = 0 tg = tgα = 0 f ' x = f ' (x 0 ) = 0Касательнаяпараллельна оси ОХ 6. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найти значение производной в точке. 6. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найти значение производной в точке x 0.

19 7. Какой угол образует касательная к графику функции у = x x x- 1 в точке с абсциссой 0 ? Тупой. Прямой. Острый. Развёрнутый. Проверка(2)

20 8. Для функции у=x 2 +4 найти точки, в которых угловой коэффициент касательной равен Проверка (3) (0; 4) (2; 8) (2; 4) Невозможно определить.

21 9. Угловой коэффициент касательной к параболе y = x 2 – 4 x + 2 в точке x 0 =3 равен: Проверка (2) Иной ответ. 2 –1–1 0

22 10. На рисунке изображён график функции 10. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найти значение производной этой функции в точке x 0. х у х 0 х 0 х 0 х , , 5 Проверка

23 На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой, равной 3. Найти значение производной этой функции в точке x=3. х у х 0 х 0 х 0 х Проверка

24 12. Укажите абсциссу точки графика функции, в которой угловой коэффициент равен нулю. 12. Укажите абсциссу точки графика функции f(x) = 5+4x–x 2, в которой угловой коэффициент равен нулю –2–2 2 Проверка (3) 0

25 858(522). Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой : 858(522). Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=kx+b в точке с абсциссой x 0 : Проверка -1 1 ух 0 x0x0x0x0

26 859(523). Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью Ox : 859(523). Найти угол между касательной к графику функции y=kx+b в точке с абсциссой x 0 и осью Ox :

27 1. §48, стр.247; ,858, 859 или 521, 522, *. ЕГЭ – B5. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f(x) в точке А(-2, 4). Найдите значение f (-2). 4*. А 6. Укажите абсциссу точки графика функции f(x) = 7– 4x – x 2, в которой угловой коэффициент касательной равен нулю. 1). 5; 2). -2 ; 3). 2; 4). 0 Домашнее задание:

28

29 домашнего задания домашнего задания 858(522). Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой : 858(522). Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=kx+b в точке с абсциссой x 0 : Проверка Проверка

30 859(523). Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью Ox : 859(523). Найти угол между касательной к графику функции y=kx+b в точке с абсциссой x 0 и осью Ox : домашнего задания домашнего задания Проверка Проверка

31 Проведём прямую, проходящую через точки (-2,4) и (0,0). Угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Она является касательной к графику функции y = f(x) в точке x 0 = -2. Угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Это означает, что f (-2) = k = -2. Ответ: -2 B5. B5. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f(x) в точке А(-2, 4). Найдите значение f (-2). Уравнение этой прямой y = -2x, угловой коэффициент k = -2. у х 0-2 4