Содержание 1 История развития геометрии пирамиды 2 Элементы пирамиды 3 Развёртка пирамиды 4 Свойства пирамиды 5 Теоремы, связывающие пирамиду с другими. - презентация

1

2 Содержание 1 История развития геометрии пирамиды 2 Элементы пирамиды 3 Развёртка пирамиды 4Свойства пирамиды 5Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами 6.1 Сфера 6.2 Конус 6.3 Цилиндр 6Формулы, связанные с пирамидой 7Особые случаи пирамиды 8.1 Правильная пирамида 8.2 Прямоугольная пирамида 8.3 Усечённая пирамида 8 Связанные определения 9 Интересные факты

3 Что такое пирамида? Пирамида (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вершину [1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.др.-греч.род. п.многогранник многоугольник треугольники [1] конуса

4 Виды пирамид Виды пирамид

5 История развития геометрии пирамиды Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды был Демокрит [2], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид, систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке. Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды был Демокрит [2], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид, систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.Демокрит [2]Евдокс Книдский Евклид«Начал»Демокрит [2]Евдокс Книдский Евклид«Начал»

6 Элементы пирамиды апофема высота боковой грани правильной пирамиды [3] ; апофема высота боковой грани правильной пирамиды [3] ; [3] боковые грани треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды; боковые грани треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды; боковые ребра общие стороны боковых граней; боковые ребра общие стороны боковых граней; вершина пирамиды точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания; вершина пирамиды точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания; высота отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); высота отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); диагональное сечение пирамиды сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания; диагональное сечение пирамиды сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания; основание многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды основание многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды

7

8 Свойства пирамиды Все диагонали пирамиды принадлежат её граням. Все диагонали пирамиды принадлежат её граням. Если все боковые ребра равны, то: Если все боковые ребра равны, то: около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы. боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то: Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то: в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; высоты боковых граней равны; высоты боковых граней равны; площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани площадь периметра высоту площадь периметра высоту

9

10 Развертка пирамиды Развёрткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью. Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развёртке в натуральную величину, построение её сводится к определению величины отдельных граней поверхности плоских многоугольников. Существует три способа построения развёртки многогранных поверхностей: Способ нормального сечения; Способ раскатки; Способ треугольника. При построении развёртки пирамида применяется способ треугольника. Развёртка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников граней пирамиды и многоугольника основания. Поэтому построение развёртки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трём сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину рёбер и сторон основания. Определение истинной величины основания и рёбер пирамиды

11 Алгоритм построения Определяют натуральную величину основания пирамиды (например методом замены плоскостей проекций); Определяют истинную величину всех рёбер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех рёбер пирамиды определена методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды S); Строят основание пирамиды и по найденным трём сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие. Точки, расположенные внутри контура развёртки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех рёбер, по которым многогранник разрезан, на развёртке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развёрт

12

13 Сфера около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Как следствие из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу; в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы. биссекторные плоскости двугранных углов необходимое и достаточное условие

14 Конус Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

15 Цилиндр Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Причём вписать цилиндр в пирамиду можно только тогда, когда в основании пирамиды описанный многоугольник (необходимое и достаточное условие); Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

16 Формулы, связанные с пирамидой Объём Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где S площадь основания и h высота; Боковая поверхность это сумма площадей боковых граней:площадь Полная поверхность это сумма боковой поверхности и площади основания: S p = S b + S o Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы: где a апофема боковой грани, P периметр основания, n число сторон основания, b боковое ребро, α плоский угол при вершине пирамиды апофема периметр

17 Особые случаи пирамиды Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:правильный многоугольник боковые ребра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани равные равнобедренные треугольники; в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу; если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно, где n количество сторон многоугольника основания [6] ; [6] площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.периметра

18 Прямоугольная пирамида Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

19 Усечённая пирамида Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между пирамидой и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

20 Связанные определения. Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существуют большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр. Тетраэдромправильный тетраэдр

21 Интересные факты Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше чем для полной.