2014 г. Учитель Бунакова Л.А.. Формулы сокращенного умножения Зачем нужны формулы сокращенного умножения ? Как было у древних ? Когда появились буквы. - презентация

1 2014 г. Учитель Бунакова Л.А.

2 Формулы сокращенного умножения Зачем нужны формулы сокращенного умножения ? Как было у древних ? Когда появились буквы ? Учись применять формулы сокращенного умножения ? Источники знаний б авторе Основная цель данной работы – выработать умение применять в несложных случаях формулы сокращенного умножения для преобразования целых выражений в многочлены и для разложения многочленов на множители. Для осознанного применения формул сокращенного умножения раскрыт геометрический смысл некоторых формул, рассказано об истории их возникновения.

3 При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращенного умножения: ( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 )

4 Геометрическая алгебра в древности Найденные древневавилонские клинописные тексты свидетельствуют, что некоторые формулы умножения ( квадрат суммы, квадрат разности, произведение суммы на разность ) были известны еще около 4000 лет назад. Их знали не в нашем символическом виде, а словесно, или в геометрической форме, как у древних греков. Ученые Древней Греции представляли величины отрезками прямых: Символиче ская запись Геометрический язык Фигура ab Прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b a2a2 Квадрат на отрезке a b a a

5 У Диофанта (III в) неизвестное, названное «аритмос», обозначалось знаком. Особые обозначения имели степени. Значительно превзошли Диофанта в деле применения сокращенных записей древние индийцы. Европейские математики XVI – XVII в. вторую степень неизвестного называли «сила» (по-латыни (Census), а также «квадрат» (Quadratus), третью степень «куб» (Cubus). Виет применял сокращения: N (Numerus, число) для первой степени, Q – для второй, C – для третьей, QQ – для четвертой степени и т. д. Например: 1C – 8Q =16N aequatur 40 означает в современной записи : x 3 – 8x x = 40. М. Штифель писал AAA вместо A 3, Т. Гарриот писал aaaa вместо a 4. С. Стевин выражение 3x 3 + 5x 2 – 4x +6 записывал так: 3(3) + 5(2) – 4(1) + 6. Современная запись была введена Декартом и систематически применялась им в его «Геометрии». Круглые скобки появляются в XV в. в трудах Штифеля, Тартальи и др. В конце того же века появляются и фигурные скобки в книгах Виета. Однако в течение почти всего XVII в. Употреблялись не скобки, а горизонтальная черта, проводимая над выражением, подлежащим включению в скобки. Широкое применение скобки получили в первой половине XVIII в. благодаря Лейбницу и Эйлеру. Появление буквенной символики. Диофант Виет Штифель Декарт Стевин Лейбниц Эйлер Тартальи

6 Подробнее узнать о формулах сокращенного умножения можно в книгах и интернет - сайтах: Алгебра: Учеб. Для 7 кл. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение. Мордкович А. Г. Алгебра. Учеб для 7 кл. –М.: Мнемозина. Пичурин Л. В. За страницами учебника алгебры: Кн. Для учащихся 7 – 9 кл. – М.: Просвещение, Глейзер Г. И. история математики в школе:IV – VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981 Сайт школы N43: ЭКСПЕРИМЕНТ - Мастер-класс - Математика htm Сайт школы N43: ЭКСПЕРИМЕНТ - Мастер-класс - Математика Untitled Электронный учебник "Формулы сокращенного умножения" Untitled Электронные учебники.Математика Геометрические иллюстрации в элементарной алгебре | Хранилище методических... Геометрические иллюстрации в элементарной алгебре | Хранилище методических... Неофициальный сайт Борисовского Государственного Политехнического Колледжа... Неофициальный сайт Борисовского Государственного Политехнического Колледжа... Программа считает за тебя по формулам сокращённого умножения (19КБ)

7 Формулы сокращенного умножения Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Преобразование в многочлен Разложение на множители Доказательство: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

8 Формулы сокращенного умножения Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Преобразование в многочлен Разложение на множители Доказательство: (a - b) 2 = (a - b)(a - b) = = a 2 - ab - ba + b 2 = a 2 - 2ab + b 2

9 Формулы сокращенного умножения Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) Преобразование в многочлен Разложение на множители Доказательство: (a - b)(a + b) = = a 2 + ab - ba - b 2 = a 2 - b 2

10 Формулы сокращенного умножения Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат разности этих выражений a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) Разложение на множители Доказательство: (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 + b 3 = = a 3 + b 3

11 Формулы сокращенного умножения Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат суммы этих выражений a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Разложение на множители Доказательство: (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 - ba 2 – ab 2 - b 3 = = a 3 + b 3

12 (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе (II) выражение ( I + II ) 2 = I 2 +2·I·II+II 2 Пример: ( 6q + c ) 2 = (6q) (6q) c + c 2 = 36q qc + c 2 Реши сам Представь в виде многочлена: а) (6h + 9m) 2 б) (10 + 8k) 2 в) (12c 2 + a 6 c) 2 Проверь себя

13 (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе (II) выражение ( I + II ) 2 = I 2 +2·I·II+II 2 Пример: ( 6q + c ) 2 = (6q) (6q) c + c 2 = 36q qc + c 2 Реши сам Представь в виде многочлена: а) (6h + 9m) 2 б) (10 + 8k) 2 в) (12c 2 + a 6 c) 2 Проверь себя = 36h hm + 81m 2 = k + 64k 2 = 144c a 6 c 3 + a 12 c 2

14 a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 +2·I·II+II 2 = ( I + II ) 2 Пример: 4x x + 9 = (2x) 2 + 2·2x· = (2x + 3) 2 Реши сам Представьте в виде квадрата двучлена: а) 16a 2 +8ab +b 2 б) 9y 2 + c 2 d 2 + 6cdy в) 0,25a 2 + 2ab 2 + 4b 4 Проверь себя

15 a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 +2·I·II+II 2 = ( I + II ) 2 Пример: 4x x + 9 = (2x) 2 + 2·2x· = (2x + 3) 2 Реши сам Представьте в виде квадрата двучлена: а) 16a 2 +8ab +b 2 б) 9y 2 + c 2 d 2 + 6cdy в) 0,25a 2 + 2ab 2 + 4b 4 Проверь себя = (4a + b) 2 = (3y + cd) 2 = (0,5a + 2b) 2

16 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение ( I - II ) 2 = I 2 -2·I·II+II 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Пример: (x 3 – 3y 4 ) 2 = (x3) 2 - 2·(x 3 )(3y 4 ) + (3y 4 ) 2 = x 6 – 6x 3 y 4 + 9y 8 Реши сам Представь в виде многочлена: а) (q 3 – 4p) 2 б) (3a – 2b) 2 в) (c 2 –0,7c 3 ) 2 Проверь себя

17 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение ( I - II ) 2 = I 2 -2·I·II+II 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Реши сам Представь в виде многочлена: а) (q 3 – 4p) 2 б) (3a – 2b) 2 в) (c 2 –0,7c 3 ) 2 Проверь себя = q 6 – 8q 3 p + 16p 2 = 9a 2 – 12ab + 4b 2 = c 4 – 1,4c 5 + 0,49c 6 Пример: (x3 – 3y4)2 = (x3)2 - 2·(x3)(3y4) + (3y4)2 = x6 – 6x3y4 + 9y8

18 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 - 2· I ·II + II 2 = ( I - II ) 2 a 2 -2ab+b 2 = (a – b) 2 Пример: a 2 x 2 – 2abx + b 2 = (ax) 2 – 2(ax)b + b 2 = (ax – b) 2 Реши сам Представь в виде квадрата двучлена: а) 9a 2 – 42a +49 б) 25b 2 – 10b + 1 в) 4a 6 – 4a 3 b 2 + b 4 Проверь себя

19 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 - 2· I ·II + II 2 = ( I - II ) 2 a 2 -2ab+b 2 = (a – b) 2 Пример: a 2 x 2 – 2abx + b 2 = (ax) 2 – 2(ax)b + b 2 = (ax – b) 2 Реши сам Представь в виде квадрата двучлена: а) 9a 2 – 42a +49 б) 25b 2 – 10b + 1 в) 4a 6 – 4a 3 b 2 + b 4 Проверь себя = (3a – 7) 2 = (5b – 1) 2 = (2a 3 – b 2 ) 2

20 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 – II 2 = ( I + II )( I + II ) a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) Пример: 4x 4 – 25a 2 = (2x 2 ) 2 – (5a) 2 = (2x 2 – 5a)(2x 2 + 5a) Реши сам Представь в виде произведения: а) 9a 2 – 49 с 2 б) 25b 2 – 1 в) 4a 6 – b 4 Проверь себя

21 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 – II 2 = ( I + II )( I + II ) a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) Пример: 4x 4 – 25a 2 = (2x 2 ) 2 – (5a) 2 = (2x 2 – 5a)(2x 2 + 5a) Реши сам Представь в виде произведения: а) 9a 2 – 49 с 2 б) 25b 2 – 1 в) 4a 6 – b 4 Проверь себя = (3a – 7c)(3a + 7c) = (5b – 1)(5b + 1) = (2a 3 – b 2 )(2a 3 + b 2 )

22 ( I + II )( I + II ) = I 2 – II 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение (a+b)(a-b) = a 2 -b 2 Пример: (6x – a)(6x + a) = (6x) 2 – a 2 = 36x 2 – a 2 Реши сам Выполните умножение: а) (6h – 9m)(6h + 9m) б) (10 – 8k)(10 + 8k) в) (12c 2 - a 6 c) (12c 2 + a 6 c) Проверь себя

23 ( I + II )( I + II ) = I 2 – II 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение (a+b)(a-b) = a 2 -b 2 Пример: (6x – a)(6x + a) = (6x) 2 – a 2 = 36x 2 – a 2 Реши сам Выполните умножение: а) (6h – 9m)(6h + 9m) б) (10 – 8k)(10 + 8k) в) (12c 2 - a 6 c) (12c 2 + a 6 c) Проверь себя = 36h m 2 = k 2 = 144c 4 - a 12 c 2

24 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 3 + II 3 = (I + II)(I 2 - I·II + II 2 ) a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) Пример: 125m n 3 = (5m) 3 + (4n) 3 = (5m + 4n)( (5m) 2 – (5m)(4n) + (4n) 2 ) = = (5m + 4n)( 25m 2 – 20mn + 16n 2 ) Реши сам Представь в виде произведения: а) 27a 3 + с 3 б) 8b в) 64a 6 – b 12 Проверь себя

25 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 3 + II 3 = (I + II)(I 2 - I·II + II 2 ) a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) Пример: 125m n 3 = (5m) 3 + (4n) 3 = (5m + 4n)( (5m) 2 – (5m)(4n) + (4n) 2 ) = = (5m + 4n)( 25m 2 – 20mn + 16n 2 ) Реши сам Представь в виде произведения: а) 27a 3 + с 3 б) 8b в) 64a 6 + b 12 Проверь себя = (3a + c)(9a 2 – 3ac + c 2 ) = (2b + 1)(4k 2 – 2b + 1) = (4c 2 + b 4 )(16c 4 – 4c 2 b 4 + b 8 )

26 I 3 - II 3 = (I - II)(I 2 + I·II + II 2 ) a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Пример: 8 - a 3 b 3 = (ab) 3 = (2 - ab)( ·ab + (ab) 2 ) = (2 - ab)( 4 + 2ab +a 2 b 2 ) Реши сам Представь в виде произведения: а) 1000q 3 – 216 с 2 б) b 3 – 1 в) x 6 y 3 – 27 Проверь себя

27 I 3 - II 3 = (I - II)(I 2 + I·II + II 2 ) a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Пример: 8 - a 3 b 3 = (ab) 3 = (2 - ab)( ·ab + (ab) 2 ) = (2 - ab)( 4 + 2ab +a 2 b 2 ) Реши сам Представь в виде произведения: а) 1000q 3 – 216p 3 б) b 3 – 1 в) x 6 y 3 – 27 Проверь себя = (10q – 6p)(100q qp+ 36p 2 ) = (b – 1)(b 2 + b + 1) = (x 3 y – 3)(x 4 y 2 + 3x 3 y + 9)

28 Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 раскрывает предложение 4 (теорема) книги второй «Начал» Евклида. Формулировка Евклида Геометрическая иллюстрация Символическая запись a, b S = (a + b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из этих отрезков и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти отрезки. b a ab a2a2 b2b2 ab ba Повторить анимацию S = S 1 + S 3 + S 4 + S 2 или (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

29 Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 раскрывает предложение 4 (теорема) книги второй «Начал» Евклида. Формулировка Евклида Геометрическая иллюстрация Символическая запись a, b S = (a + b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из этих отрезков и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти отрезки. b a ab a2a2 b2b2 ab ba Повторить анимацию S = S 1 + S 3 + S 4 + S 2 или (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

30 Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 раскрывает предложение 4 (теорема) книги второй «Начал» Евклида. Формулировка Евклида Геометрическая иллюстрация Символическая запись a, b S = (a + b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из этих отрезков и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти отрезки. b a ab a2a2 b2b2 ab ba S = S 1 + S 3 + S 4 + S 2 или (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

31 Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Символическая запись Геометрическая иллюстрация a,b S 5 = S 1 + S 2 - S 3 S = S 5 – S 4 S = S 1 + S 2 - S 3 – S 4 или (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ab a b a2a2 b2b2 ab b2b2 (a-b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Повторить анимацию

32 Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Символическая запись Геометрическая иллюстрация a,b S 5 = S 1 + S 2 - S 3 S = S 5 – S 4 S = S 1 + S 2 - S 3 – S 4 или (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ab a b a2a2 b2b2 ab b2b2 (a-b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Повторить анимацию

33 Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Символическая запись Геометрическая иллюстрация a,b S 5 = S 1 + S 2 - S 3 S = S 5 – S 4 S = S 1 + S 2 - S 3 – S 4 или (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ab a b a2a2 b2b2 ab b2b2 (a-b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba

34 Геометрический смысл формулы a 2- b 2 =(a-b)(a+b) Геометрический смысл формулы a 2 -b 2 = (a-b)(a+b) для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Повторить анимацию Геометрическая иллюстрация a, b S 1 =a 2, S 2 =b 2 S = a 2 – b 2 S 3 = b(a-b) = S 4 S = (a-b)(a+b) a b a 2 – b 2 b(a-b) a-b a+b (a-b)(a+b)

35 Геометрический смысл формулы a 2- b 2 =(a-b)(a+b) Геометрический смысл формулы a 2 -b 2 = (a-b)(a+b) для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Повторить анимацию Геометрическая иллюстрация a, b S 1 =a 2, S 2 =b 2 S = a 2 – b 2 S 3 = b(a-b) = S 4 S = (a-b)(a+b) a b a 2 – b 2 b(a-b) a-b a+b (a-b)(a+b)

36 Геометрический смысл формулы a 2- b 2 =(a-b)(a+b) Геометрический смысл формулы a 2 -b 2 = (a-b)(a+b) для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Геометрическая иллюстрация a, b S 1 =a 2, S 2 =b 2 S = a 2 – b 2 S 3 = b(a-b) = S 4 S = (a-b)(a+b) a b a 2 – b 2 b(a-b) a-b a+b (a-b)(a+b)