Теорема Чевы. Формулировка теоремы Чевы Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки А 1ЄВС, В 1ЄАС, С 1ЄАВ Отрезки АА 1, ВВ 1, СС 1 пересекаются. - презентация

1 Теорема Чевы

2 Формулировка теоремы Чевы Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки А1ЄВС, В1ЄАС, С1ЄАВ Отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: АВ1 / В1С * СА1 / А1В * ВС1 / С1А = 1

3 Обобщенная теорема Чевы Пусть прямые a, b, c проходят через вершины A, B, C треугольника ABC и пересекают прямые BC, CA, AB в точках А1,В1,С1 соответственно (рис.1). Тогда прямые a, b, c пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство АВ1 / В1С * СА1 / А1В * ВС1 / С1А = 1

4 (рис.1)

5 Следствие 1 Медианы треугольника пересекаются в одной точке. В этом случае АВ1 / В1С = СА1 / А1В = ВС1 / С1А = 1

6 Следствие 2 Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Действительно из свойства биссектрис можно записать следующие равенства: АВ1 / В1С = АВ / ВС ; СА1 / А1В = СА / АВ; ВС1 / С1А = ВС / СА. Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим условие теоремы Чевы.

7 Следствие 3 Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в него треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергона. Из свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности имеем: AB1 = AC1; BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Отсюда следует равенство из теоремы Чевы и доказательство следствия 3.

8 Следствие 4 Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Рассмотрим 2 случая. 1) Пусть треугольник ABC остроугольный (рис. 2, a) Имеем Отсюда следует Следствие доказано.

9 (рис.2)

10 2) Пусть треугольник ABC тупоугольный (рис. 2, b). Применим в этом случае обобщенную теорему Чевы. Тогда аналогично случаю 1) можно записать такие же соотношения с учетом знака. Имеем Отсюда следует доказательство.