Гиперболоид Учитель математики ГОУ СОШ 718 Бугрова Елена Владимировна (Использована программа АвтоГраф 3.20) - презентация

1 Гиперболоид Учитель математики ГОУ СОШ 718 Бугрова Елена Владимировна (Использована программа АвтоГраф 3.20)

2 Определение однополостного гиперболоида Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением. Оси канонической системы координат являются осями симметрии однополостного гиперболоида, начало координат – его центром симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии. Оси абсцисс и ординат пересекают однополостный гиперболоид в точках A 1 (a; 0; 0), A 2 (a; 0; 0), B 1 (0; b; 0), B 2 (0; b; 0), которые называются его вершинами. Ось аппликат Oz, не имеющая с гиперболоидом общих действительных точек, называется его мнимой осью.

3 Если рассмотреть сечения однополостного гиперболоида (16) плоскостью xOy: z = 0 или плоскостями, параллельными ей (z = h 3 ), то в сечении получаются эллипсы. Эллипс называется горловым. Теперь возьмем сечение однополостного гиперболоида плоскостью xOz: y = 0. Оно задается системой уравнений и представляет собой гиперболу с действительной осью Ox:.

4 Рассматривая аналогично сечения гиперболоида плоскостью yOz: x = 0, а также плоскостями, параллельными плоскостям xOz: y = h 2 и yOz: x = h 1, получаем кривые второго порядка гиперболического типа. Это – либо гипербола (при |h 1 | a, | h 2 | b), либо пара пересекающихся прямых (при |h 1 | = a, | h 2 | = b). Например, сечение однополостного гиперболоида плоскостью x = a задается системой уравнений и представляет собой пару пересекающихся прямых с каноническим уравнением

5 Однополостный гиперболоид

6

7 Сечение однополостного гиперболоида

8 Определение двуполостного гиперболоида Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением. Ось аппликат Oz канонической системы координат является осью симметрии двуполостного гиперболоида, начало координат – его центром симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии. Ось аппликат пересекает гиперболоид в точках C 1 (0; 0; c), C 2 (0; 0; c) которые называются его вершинами. Сама ось аппликат называется действительной осью гиперболоида.

9 Если рассмотреть сечение двуполостного гиперболоида координатными плоскостями xOz: y = 0 и yOz: x = 0, и плоскостями, им параллельными (x = h 1, y = h 2 ), то в сечении получаются гиперболы. Рассматривая аналогично сечения гиперболоида плоскостью xOy: z = 0, а также плоскостями, параллельными плоскости xOy: z = h, получаем кривые второго порядка эллиптического типа. Это – либо эллипс (при |h| > c), либо пара мнимых пересекающихся прямых, т.е. точка (при |h = c |), либо мнимый эллипс (при |h| c сечение двуполостного гиперболоида плоскостью z = h задается системой уравнений откуда при подстановке второго уравнения в первое последовательно получаем: и каноническое уравнение эллипса

10 Двуполостный гиперболоид

11 Двуполостный гиперболид

12 Сечение двуполостного гиперболоида