Исследование функции Асимптоты. Цель: закрепление умения самостоятельного применения знаний по исследованию функций. Задачи: образовательные: повторение. - презентация

1 Исследование функции Асимптоты

2 Цель: закрепление умения самостоятельного применения знаний по исследованию функций. Задачи: образовательные: повторение и закрепление основных этапов исследования функции; устранение пробелов в знаниях; применение знаний по исследованию функций в решении поставленных задач; развивающие: развитие творческих качеств личности (внимания, памяти, логичности, аналитичности, прогностичности); развитие познавательного интереса к математике; воспитательные: воспитание математической культуры и речи; воспитание коммуникативных и творческих качеств личности: умения общаться с учителем и друзьями, организация своей деятельности на уроке, организация деятельности в группе, осознанного видения себя в учебном процессе.

3 Схема исследования функций для построения графика В общем случае исследование функции для построения графика включает в себя следующие этапы: 1. Найти область определения и области значений функции. 2. Выяснить, обладает ли функция особенностями, которые могли бы облегчить построение графика. Например, важны сведения, является ли функция четной или нечетной или периодической. 3. Вычислить координаты пересечения графика функции с осями координат. 4. Найти промежутки знакопостоянства функции. 5. Определенить промежутки возрастания и убывания функции. 6. Найти точки экстремума (максимума и минимума) функции и вычислить в них значения функции. 7. Если у функции есть характерные точки, не входящие в ее область определения, то необходимо исследовать поведение функции в их окрестностях для того, чтобы понять, куда стремится значение функции при устремлении значения аргумента к этой (характерной) точке. Очевидно, что этот план имеет примерный характер и некоторые пункты выполнять не получится - не все уравнения можно решить аналитически, существуют так же другие сложности.

4 Вертикальная асимптота графика функции Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции, называют вертикальными асимптотами. Чаще всего график имеет вертикальную асимптоту x=a в случае, если выражение, задающее данную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке a, а числитель нет. Например, график функции f(x)=1/(x-1) имеет вертикальную асимптоту x=1 (см. рис. ниже). Для графика функции f(x)=tg(x) вертикальными асимптотами являются прямые x=π/2+πn, где n - целое.

5 Горизонтальная асимптота графика функции Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной или наклонной прямой при неограниченном возрастании аргумента по абсолютному значению, то такую прямую называют горизонтальной асимптотой либо наклонной асимптотой. Например, для графика f(x)=1/(x 2 +1) горизонтальной асимптотой будет являться прямая y=0. Для графика f(x)=x+1/x наклонной асимптотой будет являться прямая y=x.

6 Чтение графиков функций Помимо задачи построения графика функции по ее формуле либо по набору заданных свойств, существует так же задача описания свойств функции по имеющемуся графику. Такие задачи зачастую возникают при экспериментальных исследованиях - различные приборы строят график изменения со временем какой-то величины, характеризующий процесс. Необходимо уметь понять характерные особенности функции при взгляде на ее график. Следует отметить, что по графику сразу четко видны экстремумы функции, промежутки ее возрастания и убывания, так же можно видеть разрывы функции и предсказывать ее асимптоты.

7 1. область определения области значений 2. функция четная Нечетная периодическая. 3. координаты пересечения графика функции с осями координат. 4. промежутки знакопостоянства функции. 5. промежутки возрастания и убывания функции. 6. точки экстремума. 7. характерные точки

8

9 1. область определения области значений 2. функция четная Нечетная периодическая. 3. координаты пересечения графика функции с осями координат. 4. промежутки знакопостоянства функции. 5. промежутки возрастания и убывания функции. 6. точки экстремума. 7. характерные точки

10

11 Упражнение 97 а 1. область определения области значений 2. функция четная Нечетная периодическая. 3. координаты пересечения графика функции с осями координат. 4. промежутки знакопостоянства функции. 5. промежутки возрастания и убывания функции. 6. точки экстремума. 7. характерные точки

12 Упражнение 99 б 1. область определения области значений 2. функция четная Нечетная периодическая. 3. координаты пересечения графика функции с осями координат. 4. промежутки знакопостоянства функции. 5. промежутки возрастания и убывания функции. 6. точки экстремума. 7. характерные точки

13 Упражнение 99 г 1. область определения области значений 2. функция четная Нечетная периодическая. 3. координаты пересечения графика функции с осями координат. 4. промежутки знакопостоянства функции. 5. промежутки возрастания и убывания функции. 6. точки экстремума. 7. характерные точки

14 Домашнее задание п 6 Решить 99, а, г 97 б,в, г

15 Автор: Сабитова Файруза Рифовна учитель математики 1 квалификационной категории