АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Последовательность (х n ) задана формулой: х n =n 2. Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? - презентация

1 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

2 Последовательность (х n ) задана формулой: х n =n 2. Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168? 144=12 2 =х =х 15, 100=х и 168 не являются членами последовательности, 49 – является.

3 О последовательности (u n ) известно, что u 1 =2, u n+1 =3u n +1. Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые четыре члена этой последовательности. Рекуррентный способ. u1=2u1=2 u 2 =3u 1 +1=7 u 3 =3u 2 +1=22 u 4 =3u 3 +1 =67

4 О последовательности (a n ) известно, что a n =(n-1)(n+4) Как называется такой способ задания последовательности? Найдите n, если a n =150 ? Формулой n-ого члена. Заметим, что в формуле n- ого члена множители отличаются друг от друга на =(n-1)(n+4) 150=10·15 n=11

5 Что такое ПРОГРЕССИЯ? Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).Боэцием Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

6 БОЭЦИЙ Ани́цой Ма́юлий Торква́т Севери́н Боэ́цой, в исторических документах Ани́цой Ма́юлий Севери́н (ок (526)), один из наиболее авторитетных государственных деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог. Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук. Боэцой (слева) на фреске Рафаэля «Афинская школа»

7 Что общего в последовательностях ? 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. Найдите для каждой последовательности следующие два члена. 22, 26 -4, -7 5, 5

8 Арифметическая прогрессия Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. (a n ) - арифметическая прогрессия, если a n+1 = a n +d, где d-некоторое число.

9 Разность арифметической прогрессии Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии. d=a n+1 -a n +d+d+d+d+d+d+d+d+d+d+d+d+d+d a2a2 a1a1 a3a3 anan a n- 1 a n+1

10 Свойства прогрессии 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей. Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей. В случае, если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной. d=4, a n+1 >a n d=-3, a n+1

11 Задача Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см., а за каждую следующую минуту она проползает на 5 см. больше, чем за предыдущую. Сколько см. проползет улитка за 5 минуту? a 1 =30, d=5 а 2 = 30+5 = 35 а 3 = 35+5 = 40 а 4 = 40+5 = 45 а 5 = 45+5 = 50

12 Формула n-ого члена a 1 a 2 =a 1 +d a 3 =a 2 +d=a 1 +2d a 4 =a 3 +d=a 1 +3d …………………….. a n =a n-1 +d=a 1 +(n-1)d a n =a 1 +d (n-1)

13 Пример 1. Последовательность (c n )-арифметическая прогрессия. Найдите c 81, если c 1 =20 и d=3. Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с 81 =с 1 +d(81-1), c 81 =20+3·80, c 81 =260. Ответ: 260.

14 Задача. В арифметической прогрессии четные члены оказались затёрты: 3, …, 7, …, 13… Можно ли восстановить утраченные числа? Заметим, что a 3 =a 1 +2d, a 5 =a 3 +2d, a 7 =a 5 +2d и т.д. Тогда d=(a n+2 -a n ):2, то есть d=2. Искомая последовательность 3, 5, 7, 9, 13, 15, … Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности?

15 Характеристическое свойство арифметической прогрессии Пусть a n – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна: a n -a n-1 =a n+1 -a n, 2a n =a n-1 +a n+1, a n =(a n-1 +a n+1 ):2 Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов.

16 задача Последовательность (c n )- арифметическая прогрессия. Найдите c 21, если c 1 =5,8 и d=-1,5. Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с 21 =с 1 +d(21-1), c 21 =5,8+(-1,5)·20, c 21 =-24,2. Ответ: -24,2.

17 Задача. Числовая последовательность задана формулой a n =3+5n, n=1,2,3,… Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова ее разность? Решение: Поскольку a n+1 =3+5(n+1)=3+5n+5=a n +5, при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы a n+1 =a n +5 разность этой прогрессии равна 5.

18 Интересный факт Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой a n =kn+b, где k и b – некоторые числа. a n =a 1 +d(n-1)=dn+(a 1 -d) Последовательность(a n ), заданная формулой вида a n =kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией. a n+1 -a n =k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k

19 Задача. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии. Дано: a 7 =1, a 7 =a 4 -a 2. Найти: a 1. Решение: По условию a 7 =a 4 -a 2, то есть a 7 =2d, но a 7 =1, поэтому d=0,5. a 7 =a 1 +6d, a 1 =a 7 -6d, a 1 =1-6·0,5, a 1 =-2

20 Домашнее задание: пункт 16, Все формулы ещё раз выписать, формулировки выписать словами и примеры (9) в тетрадь Творческое задание: Докажите, что в арифметической прогрессии для любых номеров, таких что k

21 Основные формулы: Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии a n+1 =a n +d Разность прогрессии d=a n+1 -a n Формула n-ого члена a n =a 1 +d(n-1) Характеристическое свойство