Выполнил ученик 11 Б класса Михайлов Антон. М M О Пусть О - точка в пространстве. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором точка О остается. - презентация

1 Выполнил ученик 11 Б класса Михайлов Антон

2 М M О Пусть О - точка в пространстве. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором точка О остается на месте, а любая другая точка M переходит в такую точку М, что О - середина отрезка MM. Такое отображение называется симметрией относительно точки, или центральной симметрией. Можно доказать, что центральная симметрия есть движение, т.е. при этой симметрии сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки - в равные им отрезки, плоскости - в плоскости. Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой точки (центрально-симметричная фигура), если при симметрии относительно этой точки фигура переходит сама в себя. Такая точка называется центром симметрии фигуры. Например, сфера и шар симметричны относительно их центра, прямой круговой цилиндр симметричен относительно середины отрезка, соединяющего центры оснований, правильная n - угольная призма при нечетном n симметрична относительно середины отрезка, соединяющего центры оснований. Центральная симметрия Заметим, что в отличие от плоскости, центральная симметрия в пространстве не сводится к механическому движению. Например, параллелепипед симметричен относительно точки пересечения диагоналей, но две центрально-симметричные его части, на которые параллелепипед разбивается диагональной плоскостью, невозможно совместить механическим движением.

3 Пусть L - прямая в пространстве. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором каждая точка прямой L остается на месте, а точка M, не лежащая на этой прямой, переходит в такую точку M, что прямая L перпендикулярна отрезку MM и проходит через его середину. Это отображение называется симметрией относительно прямой, или осевой симметрией пространства. Можно доказать, что симметрия относительно прямой есть движение, т.е. при этой симметрии сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки - в равные им отрезки, плоскости - в плоскости. Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой прямой, если при симметрии относительно этой прямой фигура переходит сама в себя. Такая прямая называется осью симметрии фигуры. Например, сфера и шар симметричны относительно любой прямой, проходящей через их центр, прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус симметричны относительно их оси, правильная n-угольная пирамида при четном n симметрична относительно прямой, содержащей ее высоту. Аналогично для правильной призмы. Осевая симметрия M L M

4 Рассмотрим произвольную плоскость a в пространстве и такое отображение пространства на себя, при котором каждая точка этой плоскости остается на месте, а точка M, не принадлежащая a, переходит в такую точку M, что плоскость a перпендикулярна отрезку MM и проходит через его середину. Это отображение называется симметрией пространства относительно плоскости a. Можно доказать, что симметрия относительно плоскости есть движение, т.е. при этой симметрии сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки - в равные им отрезки, плоскости - в плоскости. Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой плоскости, если при симметрии относительно этой плоскости фигура переходит сама в себя. Такая плоскость называется плоскостью симметрии фигуры. Например, сфера и шар симметричны относительно любой плоскости, проходящей через их центр, прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус симметричны относительно любой плоскости, проходящей через их ось, правильная -угольная пирамида при четном симметрична относительно любой плоскости, проходящей через ее высоту и наибольшую диагональ основания. Аналогично для правильной призмы. Симметрия относительно плоскости MM a

5 Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. А1А1 А О А1А1 А О

6 Симметрия в природе

7

8

9 Симметрия в искусстве

10

11

12 Симметрия в трехмерных фигурах