24. 09. 12 Множества. Операции над множествами.. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Георг Кантор) - презентация

1 Множества. Операции над множествами.

2 «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Георг Кантор)

3 КАНТОР (Cantor) Георг ( ) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже вв.

4 Теория множеств появилась на свет 7 декабря 1873 года. Кантора заинтересовал вопрос, каких чисел больше – натуральных или действительных? В одном из писем адресованных к своему приятелю Рихарду Дедекинду, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств.

5 Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах. К сожалению, основному понятию теории – понятию множества – нельзя дать строгого определения. Можно сказать, что множество – это «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «система», «класс» и т. д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C… Z. Понятие множества поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д.

6 Обозначения некоторых числовых множеств: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; I - множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел.

7 Объекты, из которых образовано множество, называются элементами. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c… z. Если элемент х принадлежит множеству М, то записывают х О М, если не принадлежит – x П M. Если множество не содержит ни одного элемента, оно называется пустым и обозначается или 0.

8 Множество можно задать… Перечислив все его элементы Указав характеристическое свойство его элементов А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {Маша, Даша, Саша} Множество ЧЁТНЫХ чисел: свойство, которым обладает каждый элемент данного множества, - «ДЕЛИТСЯ НА 2».

9 Понятие множества Словесное описание множества Поэлементное описание множества Задание множества перечислением его элементов Цифры десятичной с-мы 0;1;2;3;4;5;6;7 ;8;9. Корни уравнения 3;-13 Президенты России Ельцин Путин и Медведев

10 Виды множеств Равные множества {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} = {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю} Конечные множества А = {2; 3; 5; 7; 11; 13}; {х | 5< х <12} Бесконечные множества {1; 4; 9; 16; 25; …}; {10; 20; 30; 40; 50; …}; Пустое множество обозначается символом Ø

11 Задание 1 1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) ) Задайте множество А описанием: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }. 3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7}, S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно? а) М = Р. б) Р S. в) М Т. г) Р = Т. Множества

12 х А - знак принадлежности. «элемент х принадлежит множеству А»; «х – элемент множества А». 5 N «5 – число натуральное». Наряду со знаком принадлежит используют и его «отрицание» - знак. х А «элемент х не принадлежит множеству А». 0 N «нуль не натуральное число» Стандартные обозначения

13 Задание 2 1. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число 10 – натуральное; б) число – 7 не является натуральным; в) число – 100 является целым; г) число 2,5 – не целое. 2. Верно ли, что: а) – 5 N; б) -5 Z; в) 2,(45) Q? 3. Верно ли, что: а) 0,7 {х | х 2 – 1 < 0}; б) – 7 {х | х х - 64}? Стандартные обозначения

14 Понятие множества таит в себе опасность появления противоречий или, как ещё говорят, парадоксов. Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.

15 Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. «Парадокс брадобрея»

16 Подмножества.

17 Подмножество Если каждый элемент множества А, является элементом множества В, то множество А называют подмножеством множества В.

18 А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 1 Какое множество задано путем перечисления его элементов?

19 Задайте множество лошадей, пасущихся, на Луне. 2

20 3 Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества множества А={к,а,р,у,с,е,л,ь}.

21 1. Ус 2. Ель 3. Рука 4. Русь 5. Руль 6. Лак 7. Лес

22 Множества. Операции над множествами.

23 1. Пересечением двух множеств А и В называется множество А В, которое состоит из всех элементов, лежащих одновременно в множестве А и в множестве В. 2. А В = {х | х А и х В}

24 Объединением двух множеств А и В называется множество А В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих А или В. А В= {х | х А или х В}.

25 1 Даны множества А = {3;5; 0; 11; 12; 19}, В = {2;4; 8; 12; 18:0}. Найдите множества AU В, А В

26 2 В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

27 Решение Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь = 13 человек. Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют = 6 человек.

28 7. Изобразите с помощью кругов Эйлера пересечение множеств K и M, если: а) K L б) L K в) K = L г) K L =

29 k L L K L=K L Решение задачи с помощью кругов Эйлера.

30 6 На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?

31 Решение. n ( А) = 47 – знают английский язык n ( В) = 35- знают немецкий язык n ( C)= x – не знают ни английский, ни немецкий язык n (A B )= 23 – знают английский и немецкий языки n ( A ) = 67 – работники фирмы 67 = – 23 +x x = 8 Ответ: 8 человек не знают ни английский, ни немецкий язык.

32 Домашнее задание: п (а;б) 3.21.