РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ (2 часа) ПРИЛОЖЕНИЕ К УРОКУ ПО АЛГЕБРЕ В 10 КЛАССЕ. (ГЛАВА I, § 4) - презентация

1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ (2 часа) ПРИЛОЖЕНИЕ К УРОКУ ПО АЛГЕБРЕ В 10 КЛАССЕ. (ГЛАВА I, § 4)

2 Классная работа. Решение задач на построение сечений.

3 КАКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ ИЛЛЮСТРИРУЮТ СЛЕДУЮЩИЕ РИСУНКИ ? B А 1)1) b a 2)2) b a 3)3) C B А 4)4) a M 5)5) 6)6)

4 b a 8) C 7) a b 9)

5 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ. C B А a M b a n m

6 СКОЛЬКО ПЛОСКОСТЕЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ЧЕРЕЗ ВЫДЕЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КУБА? а) б) в) г) д) е)

7 ЧЕРЕЗ ВЫДЕЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КУБА МОЖНО ПРОВЕСТИ ОДНУ ПЛОСКОСТЬ НА КАЖДОМ РИСУНКЕ. (ОКРАШЕНА СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ГРАНЬ) а) б) в) г) д) е)

8 Задача. Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Точки M, N и F соответственно середины сторон А 1 В 1, В 1 С 1, и DC. 2) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости MNF и DCC 1. 3) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости MNF и АВС.MNF и АВС (Обозначьте буквой Р точку пересечения полученной прямой с прямой AD) А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 М N F P K 4) Определите вид четырехугольника MNFР. 1) Постройте точку К точку пересечения прямых MN и D 1 C 1.

9 ЕСЛИ ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕЧЕНЫ ТРЕТЬЕЙ, ТО ЛИНИИ ИХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ a b

10 Понятие сечения многогранника плоскостью. А В С D А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 1. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. 2. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

11 А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 3. Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.параллельны. Для построения сечения достаточно 1) построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), 2) провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной грани.

12 А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 М N F P K Является ли четырехугольник MNFР сечением параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ? сечением параллелепипеда 1) Какие из отрезков MN, NF, FP и MP являются сторонами сечения? 2) В какой плоскости лежит прямая MN ? 3) В какой плоскости лежит прямая FP? 4) В какой плоскости лежит построенная нами прямая FK? (Обозначьте буквой Е точку пересечения этой прямой с ребром СС 1.) Е 5) По какой прямой будут пересекаться плоскости MNF и BCC 1 ? 6) По какой прямой будут пересекаться плоскости MNF и DAA 1 ? L (Обозначьте буквой L точку пересечения этой прямой с ребром АА 1.) 7) По какой прямой будут пересекаться плоскости MNF и АВВ 1 ?

13 N P M Рассмотрим пример построения сечения тетраэдра плоскостью Задача. На ребрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. А В С D N P M F Q А В С D Е Q

14 Задача 72(а). Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости грани АВС, если точка М является серединой ребра AD ? Рассмотрим две пресекающиеся прямые в плоскости АВС: АВ и АС. Точка М принадлежит линии пересечения двух плоскостей ADB и ADC. Построим прямые MN и MK, которые: 1) Проходят через точку М, 2) Лежат в этих плоскостях, 3) Параллельны прямым AB и AC. А В С D M Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.признак параллельности двух плоскостей. Тогда MN и MK- средние линии в треугольниках ADB и ADC. Каково взаимное расположение прямых NK и BC ? Получили искомое сечение MNK N K

15 ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

16 Задача 73. В тетраэдре ABCD точки M, N и P являются серединами ребер AB, BС и CD, АС=10 см, ВD=12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP. А D В С Является четырехугольник MNPK сечением тетраэдра ? Отрезок MN является стороной сечения. MN || АС как средняя линия треугольника АВС. Значит MN параллельна линии пересечения плоскостей ADC и MNP. MN || КР. Отрезок КР является стороной сечения. Точки Р и N лежат на ребрах грани ADC, значит отрезок NР является стороной сечения. Аналогично отрезок MК является стороной сечения. Построим сечение по условию задачи Четырехугольник MNPK искомое сечение. К Р М N

17 Вспомним теорему о плоскости, проходящей через прямую параллельную другой плоскости и пересекающей эту плоскость теорему о плоскости, проходящей через прямую параллельную другой плоскости и пересекающей эту плоскость

18 Задача 73. В тетраэдре ABCD точки M, N и P являются серединами ребер AB, BС и CD, АС=10 см, ВD=12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP. Докажите, что точка К – середина ребра AD. Определите вид четырехугольника MNPK. Как найти его периметр ? К М N Р С А D В

19 Найдем периметр параллелограмма MNPK. Ответ:

20 Задача 75. Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, MA и МК, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см 2. L M K N б) Плоскость EOF пересекает грань LNM по отрезку ЕО, ЕО || LА так как по условию ЕО средняя линия треугольника LАM. значит. По признаку параллельности плоскостей плоскости EOF и LАК параллельны.параллельны. Треугольник EOF – сечение тетраэдра KLMN плоскостью EOF Треугольники EOF и LAK подобны. Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Аналогично FО || КА. A O F E

21 РЕШЕНИЕ. Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит Ответ:

22 Задача 79. Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и постройте его сечение: а) плоскостью ABC 1 ; б) плоскостью ACC 1. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 a) А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 б)б)

23 Плоскости АВС 1 и АСС 1 имеют две общие точки А и С 1. По аксиоме А – 3 они пересекаются по прямой АС 1. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1

24 ММ М Задача 82. Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и отметьте внутреннюю точку М грани АА 1 В 1 В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD ; б) грани ВВ 1 C 1 С ; в) плоскости ВDD 1. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 а) А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 б) А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 в)в)

25 Задача 84. Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В 1, D 1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение – трапеция. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 К М Плоскости A 1 D 1 C 1 и АВС параллельны Значит D 1 B 1 ll МК Прямая МК пересекает прямую СВ в точке К. Искомая плоскость пересекает грани DCC 1 и СВВ 1 по отрезкам D 1 M и В 1 К, а грань АВС по отрезку МК. Получили сечение D 1 MKB 1 Докажите, что построенное сечение является трапецией.

26 А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 F Задача 87(а). Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K лежат соответственно на ребрах ВВ 1, АА 1 и AD. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 F K M N а) N M K Р

27 Домашнее задание. Пункт (Признак параллельности плоскостей, подобие треугольников, отношение площадей подобных треугольников) 80 (смотрите задачу 79) 83 (признак параллельности плоскостей, теорема о прямой параллельной линии пересечения двух плоскостей) 87(б) (смотрите задачу 87(а))