Определение Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. - презентация

1

2 Определение Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой

3 комбинаторика Слово "комбинаторика" происходит от латинского combinare "combinare", которое означает "соединять, сочетать". Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних рукописей. Сейчас комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, в химии, механике и т.д.

4 Определение Раздел комбинаторики, в котором при решении задач подсчитывается число решений, называется теорией перечислений

5 Факториал … n = n! Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториал́л) это произведение всех натуральных чисел до n включительно:

6 Факториал 4! = 1234 = 24 3! = 123 = 6 6! = = 720

7 Главное свойство факториалла (n+1)! = (n+1) n! Следствие 1! = 1 0! = 1

8 Несколько первых значений для n!: 1! = 1 2! = 1 2 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 6! = 5! 6 = 720 и т. д. Принято считать, что 0 ! = 1

9 Перестановки, размещения, сочетания

10 Перестановки Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. P n = 1·2·3·…·(n 2)(n 1)n P n = n!

11 Размещением из n элементов по два называют любую упорядоченную пару, составленную из данных n элементов. Количество размещений из n элементов по два обозначают через (по первой букве французского слова arrangement – размещение) Размещения

12 a, b, с Запишем все размещения из 3 элементов a, b, с по 2: abac babc cacb Размещения

13 Сколькими способами можно распределить два билета на разные кинофильмы между семью друзьями? Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, составленный из данных n элементов. Аналогично можно получить: А 3 n, А 4 n, А k n.

14

15 Размещения k n Размещением из n элементов по k ( k n ) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из n элементов. Два размещения из n элементов считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком из расположения. Формула числа размещений

16

17 (k n) Сочетанием из n элементов по k (k n) называют любую группу из k элементов, составленную из данных n элементов. Число сочетаний из n элементов по k обозначают через (по первой букве французского слова combination – сочетание). Разница заключается в том, что если в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение, а сочетание не зависит от порядка входящих в него элементов. Разница заключается в том, что если в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение, а сочетание не зависит от порядка входящих в него элементов. Сочетания

18 Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов. В сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из n элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Формула числа сочетаний

19 Задача. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет» и для начала стали выбирать 4 инструмента из 11, имеющихся на складе. Найти число возможных выборок. Решение. Воспользуемся тем, что число всех сочетаний из n элементов по k элементов вычисляется по формуле

20 Сколькими различными способами из семи участников математического кружка можно составить команду из двух человек для участия в олимпиаде?

21 Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами две разные путевки в санатории? Сколькими способами можно присудить шести лицам три одинаковые премии?