Теорема Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования π, то ее проекция F на эту плоскость будет равна фигуре F. - презентация

1 Теорема Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования π, то ее проекция F на эту плоскость будет равна фигуре F.

2 Пример 1 Параллельной проекцией равностороннего треугольника может быть треугольник произвольной формы. Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости π. Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB 1 C так, чтобы точка B 1 не принадлежала плоскости π. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B 1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB 1 C на плоскость π в направлении прямой l. Аналогично, параллельной проекцией прямоугольного треугольника может быть треугольник произвольной формы.

3 Пример 2 Параллельной проекцией правильного шестиугольника может быть произвольный шестиугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Пусть ABCDEF – правильный шестиугольник, O – его центр. Выберем какой-нибудь треугольник, например, AOB. Его параллельной проекцией может быть треугольник AOB произвольной формы. Далее отложим OD = AO и OE = BO. Теперь из точек A и D проведем прямые, параллельные прямой BO; из точек B и E проведем прямые, параллельные прямой AO. Точки пересечения соответствующих прямых обозначим F и C. Шестиугольник ABCDEF и будет искомой параллельной проекцией правильного шестиугольника ABCDEF.

4 Пример 3 Параллельной проекцией окружности является эллипс. Для произвольной хорды C 1 D 1, параллельной диаметру CD, ее проекция C 1 D 1 ' будет параллельна CD', и отношение C 1 D 1 ':C 1 D 1 будет равно k. Таким образом, проекция окружности получается сжатием или растяжением окружности в направлении какого- нибудь ее диаметра в одно и то же число раз. Такая фигура на плоскости называется эллипсом. Пусть окружность проектируется на плоскость π. AB – диаметр, параллельный этой плоскости и AB' его проекция. Возьмем какой- нибудь другой диаметр CD и пусть CD' - его проекция. Обозначим отношение CD':CD через k.

5 Упражнение 1 Какие фигуры могут служить параллельными проекциями треугольника? Ответ: Треугольник или отрезок.

6 Упражнение 2 Может ли параллельной проекцией равностороннего треугольника быть: а) прямоугольный треугольник; б) равнобедренный треугольник; в) разносторонний треугольник? Ответ: а), б), в) Да.

7 Упражнение 3 Какой фигурой может быть параллельная проекция прямоугольника? Ответ: Параллелограммом или отрезком.

8 Упражнение 4 Может ли параллельной проекцией прямоугольника быть: а) квадрат; б) параллелограмм; в) ромб; г) трапеция? Ответ: а), б), в) Да; г) нет.

9 Упражнение 5 Верно ли, что проекцией ромба, если он не проектируется в отрезок, будет ромб? Ответ: Нет.

10 Упражнение 6 Параллельной проекцией каких фигур может быть квадрат? Ответ: Параллелограммов.

11 Упражнение 7 В какую фигуру может проектироваться трапеция? Ответ: Трапецию или отрезок.

12 Упражнение 8 Верно ли, что при параллельном проектировании треугольника: а) медианы проектируются в медианы; б) высоты проектируются в высоты; в) биссектрисы проектируются в биссектрисы? Ответ: а) Да; б), в) нет.

13 Упражнение 9 Треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника ABC. Расстояния между соответствующими вершинами этих треугольников равны a, b, c. Найдите расстояние между точками пересечения медиан треугольников. Ответ: