1 ГЕОМЕТРИЯ 2 ТЕМА: ТРАПЕЦИЯ 3 Выполнил: ученик 10 Б класса Средней школы 1143 Галкин Владимир. - презентация

1

2 1 ГЕОМЕТРИЯ

3 2 ТЕМА: ТРАПЕЦИЯ

4 3 Выполнил: ученик 10 Б класса Средней школы 1143 Галкин Владимир

5 4 Трапеция- это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны Основание трапеции Боковая сторона

6 5 Существуют разные виды трапеции: Равнобедренная Прямоугольная АВ С Д

7 6 Задачи Часть А:

8 7 Задача 1:Найдите углы B и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если А=36, С=117. Дано:ABCD-трапеция ; А=36; C=117 Найти: В, D Решение: А+ В=180, значит В=144. С+ В=180, значит D=63. D А В С

9 8 Задача 2:Один из углов равнобедренной трапеции равен 68.Найдите остальные углы трапеции. Дано: трапеция, 1=68. Найти: 2, 3, 4. Решение: 1= 2 (углы при основании равны) 3=180- 1=112. 4= 3=112. 2=

10 9 Задача 3: Основания прямоугольной трапеции равны 4 и 7, один из углов равен 60.Найти большую боковую сторону трапеции. Дано:ABCD-трапеция. D=60. BC=4,AD=7. Найти: CD-? Решение: Проведем высоту СН. Тогда HD=AD-BC=3. Применим теорему синусов HD = CH Отсюда CH= 3 корня из 3 Sin 30 sin 60 CD 2 =9+27=36 (Теорема Пифагора) CD=6. АD BC Н

11 10 Задача 4: Найти площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6, а больший угол равен 135 о. Дано:ABCD-трапеция, А=90;AB=BC=6; BCD=135 0 Найти: S-? Решение: HCD=135-90=45; CDH=45. DH = CH Отсюда DH=6 sin45 sin 45 S=0,5 ( BC+AD) CH=0,5(5+12)6=54 АD BC Н

12 11 Задача 5: Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135, а высота, проведенная из вершины этого угла делит основания на отрезки 1,4 см и 3,4 см.Найти площадь трапеции. Дано:ABCD-трапеция.AB=CD.AH=3,4. HD=1,4. BCD=135. Найти: S-? Решение: HCD= CDH= 45. HD = CH Отсюда СН=1,4 sin45 S= 0,5(2+4,8)1,4=4,76. D А ВС H

13 12 Задача 6: Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5. Найти основания. Дано: трапеция АDCD.MN=5. BC:AD=2:3. Найти: AD;CD. Решение: Пусть х- коефиециент пропорциональности. Тогда ВС=2х,AD=3x. MN=0,5(AD+BC) 2,5x=5 X=2. Значит АD=6, a BC=4. D А В С МN

14 13 Задача 7: Дана равнобокая трапеция. Средняя линия равна боковой стороне. Основания равны 8 и 16. Найти площадь трапеции. Дано: АBCD- трапеция.AB=CD;MN=AB; BC=8;AD=16. Найти: S Решение: MN=0,5(BC+AD)=12.Значит AB=12.AH=4 BH 2 =AB 2 -AH 2 ; BH 2 = BH=8 корней из 2ж S=MN BH=96 корней из 2 D А В С МN

15 14 Задача 8: В равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 6, вписан круг. Найдите его радиус и углы трапеции. Дано: ABCD-трапеция.AD=18;BC=6 Найти:ОG-? Решение: EC=CG ( по равным треугольникам) DG=DQ ( по равным треугольникам) EC=0,5 BC=3 Значит СG=3 DQ=0,5 AD=9 Значит DG=9 OG 2 = CG DG=27 OG=3 корень из 3. А ВС D E F G О Q

16 15 Часть Б

17 16 Задача 1: Площадь равнобокой трапеции равна S, угол между ее диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а. Найти высоту трапеции. Дано:ABCD- трапеция; S- её площадь а.ВС и AD основания. Найти:CK-? Решение: Пусть О – точка пересечения диагоналей данной трапеции ABCD, AB=CD, AOB=a. Т.к АОВ- внешний угол AOD, AO=OD,то CAD= a 2. Пусть СК=Н- высота трапеции Из АКС ( АКС=90); АК=Н ctg 2 a Тогда площадь трапеции S = 0,5(AD+BC)CK=AK CK= H 2 ctg 2 a H=корень из S tg 2 a D А ВС K a О

18 17 Задача 2: Большее основание вписанной в круг трапеции равно диаметру круга, а угол при основании равен а. В каком отношении точка пересечения диагоналей трапеции делит её высоту? Дано: ABCD- трапеция. Найти: Решение: Пусть основание AD равнобокой трапеции ABCD есть диаметр круга, описанного около трапеции, тогда центр О круга – середина AD. Высота КО трапеции проходит через точку L пересечения диагоналей, BLC подобен ALD, KL:LO=LC:LD. D А В С о К L

19 18 ACD- вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому ACD=90. ACD и AOL- прямоугольные с общим острым углом при вершине А.Отсюда, ALO= ADC=a. Тогда KLC= OLD=a, CLD=180-2a,из DLCD ( LCD=90); LC:LD=cos CLD=cos (180-2a)=-cos2a.

20 19 Задача 3: Угол при вершине А трапеции ABCD равен а. Боковая сторона АВ вдвое больше меньшего основания ВС. Найти угол ВАС. Дано: ABCD-трапеция.АВ=2ВС Найти: ВАС Решение: Пусть ВАС = F. Sin F = = Тогда ВСА= СAD=a- F. Из АВС: Отсюда следует 2sin F= sin a cos F – sin F cos a 2=sin a ctg F – cos a 2+cos a; F = arctg А В С D Sin (a- F ) ВС АВ Sin a tg F = Sin a 2+sin a

21 20 Задача 4: В круг вписана трапеция. Большее основание трапеции составляет с боковой стороной угол а, а с диагональю- угол ф.Найти отношение площади круга к площади трапеции. Решение: Пусть АD- большее основание данной трапеции ABCD, BAD=a, BDA=Ф, BM-высота трапеции И BD= 1. Тогда из BMD ( BMD=90); BM=BD sin BDM= sin ф; DM=BD cos BDM=cos ф; А В С DM a ф

22 21 Площадь трапеции S1= Радиус R круга, описанного около BAD: R= =. Тогда площадь круга S2=¶R 2 = = Таким образом, AD+BC 2 = BM DM BM=sinф cosф= Sin 2ф 2 BD 2 sin A = 1 2 sin a ¶ 4 sin 2 a S1 S2 = ¶ 2 sin 2 a sin2ф

23 22 ЧАСТЬ С

24 23 Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.Прямая KL пересекает диагональ BD в точке О. К принадлежит AB.L принадлежит CD.Отношение большего основания к меньшему как 2 к 1 (AD:BC=2:1). AK:KB=1:2;CL:LD=1:2.Найти отношение ВО к LD. Дано: ABCD-трапеция. KL пересекает BD в точке О KAB;LCD; AD:BC=2:1; AK:KB=1:2; CL:LD=1:2. Найти: BO:OD (примечание знак означает принадлежит) B C L K C D O

25 24 Решение: 1)AK:KB=1:2. значит АK=x; KB=2x; AB =3x. CL:LD=1:2. значит СL=y; LD=2y; CD =3y. 2) Продолжим боковые стороны до пересечения в точке F BFC подобен AFD Значит AF:BF=AD:BC; = B C L K C D F 3x+BF BF = 2 1 3x BF +1=2

26 25 BF=3x AF=6x Аналогично FC=3y; FD=6y. 3)По теореме Менелая BFD и секущая KL BO:OD=4:5. FL DO BK LD BO KF =1 4y DO 2x 2y BO 5x =1 DO BO = 5 4

27 26 В трапеции меньшее основание равно 2, прилежащие углы по 135. Угол между диагоналями, обращенный к основанию, равен 150.Найти площадь трапеции. Дано: ABCD-трапеция. BC=2. ABC= DCB=135 BOC=150. Найти: S Решение: В BOC: ACB= DCB=15,тогда ВАС =180-( АВС+ + АСВ)=30. По теореме синусов из АВС: А В С D O

28 27 AC= = = 2 корня из 2 S=0,5 AC BD sin BOC=0,5 AC 2 sin BOC = =0,5 (8) sin 150=2 2sin 135 AC Sin ABC = BC Sin BAC BC sin ABC Sin ABC Sin 30

29 28 В равнобедренной трапеции основание AD равно диагонали АС. Известно, что САD= СDM, где М – середина ВС. Найдите углы трапеции. Дано: ABCD-трапеция. AD=AC; CAD= CDM; BM=MC. Найти: углы трапеции Решение: Пусть СAD=ф, тогда ADC= ACD=90-. Поскольку по условию MDC= CAD= ф, то A BC D M K Ф Ф ф 2

30 29 CMD= MDA= ADC- MDC=90- ф, МDC=90+ По теореме синусов для треугольника MDC надем, MD=CD Но М- середина ВС. Следовательно, проекция МD на AD равна 0,5AD, т.е AD=2MD cos(90 - )=2CD 3 2 ф 2 MD CD Sin ( 90+ ) ф 2 = Sin ( 90- ) 3 2 ф cos 2 ф 3 2 ф 2 3 ф ф 2 Sin 3 2 ф cos 2 3 ф

31 30 Из равнобедренного треугольника ACD найдем AD= Приравнивая два выражения для AD, получим уравнение Можно доказать,что cos ф = сos (2cos ф - 1), 2sin ф sin ==cos ф-cos2ф CD 2sin ф 2 2cos ф 2 sin 3 2 ф cos 3 2 ф = 1 2sin 2 ф 3 2 ф ф 2

32 31 Сократив теперь в числителе и знаменателе левой части уравнения,освободившись от знаменателя, придем к уравнению 2 cos 2ф=1, т.е 2ф=60, ф=30. Таким образом, два угла трапеции равны 75, два оставшихся 105. cos ф 2

33 32 Конец