Квадратные уравнения. Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bx + c = 0, где а, b, с – числа, а 0, х – неизвестное. - презентация

1 Квадратные уравнения

2 Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bx + c = 0, где а, b, с – числа, а 0, х – неизвестное. 3х 2 - 2x + 7 = 0;-3,8х = 0; 18х 2 = 0. Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени с одним неизвестным.

3 Коэффициенты квадратного уравнения Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. ах 2 + bx + c = 0, старший второй свободный коэффициенткоэффициентчлен 3х 2 + 4x - 8 = 0, старший второй свободный коэффициенткоэффициентчлен

4 Неполное квадратное уравнение Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называется неполным. -11х 2 = 0; 5х х = 0; -24х 2 +1 = 0.

5 Виды неполных квадратных уравнений и их корни 1. ах 2 + c = 0, где с 0. Тогда Если,то корни. а) б) -х 2 -4 = 0 х 2 = -4нет корней. Если, то корней нет.

6 Виды неполных квадратных уравнений и их корни 2. ах 2 + bx = 0, где b 0. Тогда x (ax +b) = 0. Корни: х 1 =0 и х 2 =. а) 2х 2 + 7x = 0x (2x +7) = 0 х = 0 или 2х + 7 = 0, т.е. х =. Ответ: 0 и -3,5. б) -х 2 + 5x = 0 -x (x - 5) = 0 х = 0 или х = 5. Ответ: 0 и 5.

7 Виды неполных квадратных уравнений и их корни 3. ах 2 = 0 Имеем единственный корень х = х 2 = 0 х 2 = 0 х = 0. -3,8х 2 = 0 х 2 = 0 х = 0.

8 Метод выделения полного квадрата Решить уравнение х x + 24 = 0. Решение. х x + 24 = (х x + 49) – = = (х + 7) 2 – 25. (х + 7) 2 – 25 = 0, (х + 7) 2 = 25. х + 7 = -5 или х + 7 = 5. х 1 = -12;х 2 = -2. Ответ: -12; -2.

9 Формула корней квадратного уравнения Корни квадратного уравнения ах 2 + bx + c = 0 можно найти по формуле, где D = b 2 – 4ac - дискриминант квадратного уравнения.

10 Формула корней квадратного уравнения Возможны 3 случая: 1. D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня:,. 2х 2 + 7x - 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 7 2 – 4 2 (-4) = 81 > 0,,.

11 Формула корней квадратного уравнения 2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень: х 2 - 4x + 4 = 0. D = (-4) 2 – = 0,.

12 Формула корней квадратного уравнения 3. D < 0. Тогда уравнение не имеет корней, т. к. не существует. 3х 2 - x + 7 = 0. D = (-1) 2 – = -83 < 0, значит корней нет.

13 Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Если b = 2k, то корни уравнения ах 2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле, где.

14 Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнение 1. х x + 32 = 0. а = 1; b = 18k = b : 2 = 9; c = 32. D 1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:

15 Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнения 2. 3х 2 + 2x + 1 = 0. а = 3; b = 2 k = b : 2 = 1; c = 1. D 1 = D : 4 = 1 2 – 1 3 = -2 < 0, значит корней нет х x + 1 = 0. а = 196; b = -28k = b : 2 = -14; c = 1. D 1 = D : 4 = (-14) 2 – 196 = 0, значит уравнение имеет 1 корень.

16 Приведенное квадратное уравнение Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х 2 + px + q = 0. х x + 24 = 0. Для каждого квадратного уравнения можно записать равносильное ему приведенное уравнение, разделив обе части квадратного на старший коэффициент. 5х 2 + 3x - 2 = 0 х 2 + 0,6x – 0,4 = 0.

17 Формула корней приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0. х 2 - x - 6 = 0. p = -1, q = -6,

18 Теорема Виета Теорема. Если х 1 и х 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0, то х 1 + х 2 = -р х 1 х 2 = q х 1 = -1; х 2 = 3 – корни уравнения х 2 - 2x - 3 = 0. р = -2, q = -3. х 1 + х 2 = = 2 = -р, х 1 х 2 = -1 3 = q. формулы Виета

19 Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида Теорема. Если х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения а х 2 + bx + c = 0, то х 1 = 1,5; х 2 = 2 – корни уравнения 2 х 2 - 7x + 6 = 0. х 1 + х 2 = 3,5, х 1 х 2 = 3.

20 Теорема, обратная теореме Виета Теорема. Если числа х 1, х 2, р и q связаны условиями х 1 + х 2 = -р х 1 х 2 = q то х 1 и х 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0. Составим квадратное уравнение по его корням Искомое уравнение имеет вид х 2 - 4x + 1 = 0.

21 Квадратный трехчлен Квадратным трехчленом называется многочлен вида а х 2 + bx + c, где а, b, с – числа, а 0, х – переменная. 3х 2 - 2x + 7; Корни квадратного трехчлена а х 2 + bx + c – это корни уравнения а х 2 + bx + c = 0.

22 Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Теорема. Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена а х 2 + bx + c, то а х 2 + bx + c = а(х - х 1 )(х - х 2 ). Разложить на множители 12 х 2 - 5x корни уравнения 12 х 2 - 5x – 2= 0. Значит 12 х 2 - 5x – 2 =

23 Неприводимый многочлен Если квадратный трехчлен ах 2 + bx + c не имеет корней, то соответствующий многочлен (со старшим коэффициентом 1) называется неприводимым многочленом второй степени (так как его невозможно разложить на множители меньшей степени). Квадратный трехчлен 5х 2 + 3x + 2 не имеет корней. Его невозможно разложить на множители первой степени. Можно вынести числовой коэффициент за скобки 5х 2 + 3x + 2 =5(х 2 + 0,6x + 0,4).

24 Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Схема решения: 1.Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2.Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3.Решить получившееся уравнение. 4.Исключить из его корней те числа, которые обращают в нуль общий знаменатель.

25 Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: (t + 1)(t - 2). Умножим на него обе части уравнения: t(t – 2) – (t +2)(t + 1) = 1(t + 1)(t – 2) t 2 – 2t – t 2 – 3t – 2 = t 2 – t – 2 t 2 + 4t = 0 t(t + 4) = 0t 1 = 0, t 2 = -4. Ни одно из чисел не обращает в нуль общий знаменатель. Ответ: 0; -4.

26 Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: х(х – 3)(х + 3). Тогда: 2х – (х – 3) = (6 – х)(х – 3) х 2 – 8х + 15 = 0 х 1 = 3 – посторонний корень, так как при х = 3 общий знаменатель х(х – 3)(х + 3) = 0. х 2 = 5 – корень. Ответ: 5.

27 Биквадратные уравнения Уравнение вида ах 4 + bx 2 + c = 0, где а 0, b и с - заданные числа, называется биквадратным. 9х х = 0 Заменой х 2 = t сводится к квадратному уравнению. 9t t - 2 = 0 Ответ:. Нет корней или

28 Решение уравнений методом замены неизвестного Нет корней Ответ: 43.

29 Модуль Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки х на координатной прямой. |x| = 6 означает, что расстояние от начала отсчета до точки х равно 6. а, если а > 0 |а| =-а, если а < 0 0, если а = 0 -6 О 6 х 66

30 Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля | х 2 - 2х - 39| = 24. х 2 - 2х - 39 = 24 х 2 - 2х - 39 = -24 х 1 = 9; х 2 = -7 х 3 = -3; х 4 = 5. Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.

31 Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля 9х 2 - = 0. x > 0,x < 0, 9х 2 - = 09х 2 - = 0. x > 0,x < 0, 9х 2 – 1 = 09х = 0. нет решений Ответ:.

32 Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля Модули двух чисел равны тогда и только тогда, когда эти числа равны или противоположны. |8х 2 - 4х + 1| = |3х 2 + 9х - 7|. 8х 2 - 4х + 1 = 3х 2 + 9х – 7 8х 2 - 4х + 1= –(3х 2 + 9х – 7) х 1 = 1,6; х 2 = 1 х 3 = -1; х 4 = 6/11. Ответ: 1,6 ; 1 ; -1 ; 6/11.